Ejemplo: cadena monoatómica con orbitales $\bm{s}$ o $\bm{p}$

Para facilitar la comprensión del método, analizamos el caso de una cadena monoatómica unidimensional con parámetro $a$, en la que solo intervienen orbitales $s$ o $p$: todos estos átomos tienen asociado un orbital $s$, o todos tienen un orbital $p$, es decir en las sumatorias anteriores interviene solamente $\lambda\!=\!s$ o solamente $\lambda\!=\!p$. En este caso hay una única coordenada $x$, asociada a una única componente $k$ en el espacio recíproco, por lo que, escribiendo los vectores de la red como $\bm{R}'\!=\!ma\,\bm{\hat{x}}$, los elementos de la base (15) se escriben

$$\chi_{{}\displaystyle_{k,\lambda}}(x) = \textcolor{red}{\frac{1}{\sqrt{N}}} \sum_{m=-\infty}^\infty e^{i\,k\,ma}\, \phi_\lambda(x-ma) \;.$$ En este caso $$\hspace{6em} \left\langle \phi_\lambda(x) \,\vert\, \phi_\lambda(x-ma) \right\rangle = \delta_{m,0} \;,$$ y además $\left\langle \phi_\lambda(x) \right\vert\hat{H}\left\vert \phi_\lambda(x-ma) \right\rangle = \varepsilon_\lambda\,\delta_{m,0}$ $\left\langle \phi_\lambda(x) \right\vert\hat{H}\left\vert \phi_\lambda(x-ma) \right\rangle =\gamma_{{}\displaystyle_{\lambda}}\,\delta_{m,\pm1}\;,$ donde $\gamma_{{}\displaystyle_{\lambda}}\,$ representa los coeficientes de hopping. Como aquí interviene siempre un único orbital $\lambda$, $\psi_{nk}(x)=c_k\,\chi_{{}\displaystyle_{k,\lambda}}(x)$ contiene un único sumando, al igual que la ecuación de autovalores (16), cuya resolución resulta muy sencilla (ejercicio): $$\varepsilon(k) = \varepsilon_\lambda + 2\,\gamma_{{}\displaystyle_{\lambda}} \cos(ka) \qquad (c_k=1) \;.$$ En virtud de que los orbitales $s$ tienen simetría esférica, los coeficientes de hopping correspondientes $$\gamma_{{}\displaystyle_{s}} = \int\,{\rm d}x\; \phi_s^*(x)\,W(x)\,\phi_s(x-a) \;,$$ son siempre negativos (ejercicio), ya que las $\phi_s$ son

autofunciones asociadas a estados ligados, de manera que la relación anterior anterior corresponde al gráfico superior. Por el contrario, los orbitales $p$ son impares, con lo cual la región abarcada por $\phi_p>0$ se torna negativa al multiplicar por $W$, de modo que la integral para $\gamma_{{}\displaystyle_{p}}$ resulta positiva (ejercicio). El gráfico para $\varepsilon(k)$ entonces es como el de la figura inferior. Vale la pena comparar cualitativamente estas curvas con las correspondientes a las de un potencial periódico débil.

La generalización a 2D es directa, y constituye un ejemplo simple en la descripción de una red cuadrada. Queda como ejercicio mostrar que en este caso (solo $\lambda\!=\!s$ o solo $\lambda\!=\!p$) la relación de dispersión resulta

$$\varepsilon(\bm{k}) = \varepsilon_\lambda + 2\,\gamma_{{}\displaystyle_{\lambda}} \left[ \cos(k_xa) + \cos(k_ya) \right]$$

(por supuesto, el mismo razonamiento lleva a la generalización en 3D).

Las expresiones obtenidas para las relaciones de dispersión en $d$ dimensiones permiten expresar el rango de valores de $\epsilon$ abarcado por cada banda —el “ancho de banda”— como (ejercicio)

$$w = 4\,d\,\gamma_{{}\displaystyle_{\lambda}} \;.$$