Ejemplo: red cuadrada con orbitales $\bm{s}$ y $\bm{p}$

En esta red bidimensional monoatómica de parámetro $a$, a cada sitio pueden asociarse 4 orbitales: $s$, $p_x$, $p_y$ y $p_z\,$. Como mostramos en la (17), los elementos de matriz de solapamiento resultan $\,\big\langle\chi_{{}\displaystyle_{\bm{k}\mu}}\big\vert\chi_{{}\displaystyle_{\bm{k}\lambda}}\big\rangle=\delta_{\lambda,\mu}\,$ mientras que los elementos $\left\langle \phi_\mu(\bm{r}) \right\vert\hat{H}\left\vert \phi_\lambda(\bm{r}\!-\!\bm{R}) \right\rangle \,$ son distintos de cero solo para $\;\bm{R}=\pm a\bm{\hat{x}}$, $\pm a\bm{\hat{y}}\;$ o $\,\bm{0}\,$. Las diferentes combinaciones $\phi_\mu\,$, $\phi_\lambda$ son

$$\varepsilon_s = \left\langle \phi_s(\bm{r}) \right\vert\hat{H}\left\vert \phi_s(\bm{r}) \right\rangle$$

$$\varepsilon_p = \left\langle \phi_{p_x}(\bm{r}) \right\vert\hat{H}\left\vert \p... ...phi_{p_z}(\bm{r}) \right\vert\hat{H}\left\vert \phi_{p_z}(\bm{r}) \right\rangle$$

$$\left( \left\langle \phi_s(\bm{r}) \right\vert\hat{H}\left\vert \... ...pha}(\bm{r}\!\pm\!a\bm{\hat{x}}) \right\rangle = 0 \quad (\alpha = y,z) \right.$$

$$\left.\hspace{28em} \left\langle \phi_s(\bm{r}) \right\vert\hat{H... ...pha}(\bm{r}\!\pm\!a\bm{\hat{y}}) \right\rangle = 0 \quad (\alpha = x,z) \right)$$

$$V_{ss} = \left\langle \phi_s(\bm{r}) \right\vert\hat{H}\left\vert \phi_s... ...) \right\vert\hat{H}\left\vert \phi_s(\bm{r}\!\pm\!a\bm{\hat{y}}) \right\rangle$$

$$V_{sp} = \left\langle \phi_s(\bm{r}) \right\vert\hat{H}\left\vert \phi_{... ...\right\vert\hat{H}\left\vert \phi_{p_y}(\bm{r}\!+\!a\bm{\hat{y}}) \right\rangle$$

$$V_{pp\sigma} = \left\langle \phi_{p_x}(\bm{r}) \right\vert\hat{H}\left\vert \p... ...ight\vert\hat{H}\left\vert \phi_{p_y}(\bm{r}\!\pm\!a\bm{\hat{y}}) \right\rangle$$

$$V_{pp\pi} = \left\langle \phi_{p_x}(\bm{r}) \right\vert\hat{H}\left\vert \p... ...ight\vert\hat{H}\left\vert \phi_{p_z}(\bm{r}\!\pm\!a\bm{\hat{y}}) \right\rangle$$

$$\left( \left\langle \phi_{p_\alpha}(\bm{r}) \right\vert\hat{H}\le... ...) \right\rangle = 0 \qquad (\alpha,\beta = x,y,z \;;\; \alpha\neq\beta) \right)$$

Como en las discusiones anteriores, el hecho de que los orbitales $s$ sean isotrópicos y que los $p$ sean impares permite concluir que varios de los elementos de matriz anteriores se anulan, mientras que muchos otros resultan idénticos. Con todos estos coeficientes podemos evaluar

$$\left\langle \chi_{{}\displaystyle_{\bm{k}s}}(\bm{r}) \right\vert\hat{H}\left\vert \chi_{{}\displaystyle_{\bm{k}s}}(\bm{r}) \right\rangle = \left\langle \phi_s(\bm{r}) \right\vert\hat{H}\left\vert \phi_s(\... ...) \right\vert\hat{H}\left\vert \phi_s(\bm{r}\!+\!a\bm{\hat{x}}) \right\rangle +$$

$$\hspace{10em} + e^{i\bm{k}\cdot a\bm{\hat{y}}} \left\langle \phi_... ...r}) \right\vert\hat{H}\left\vert \phi_s(\bm{r}\!+\!a\bm{\hat{y}}) \right\rangle$$

$$=\, \varepsilon_s + 2\,V_{ss}\left[\cos(k_x a)+\cos(k_y a)\right] \;,$$

y también

$$\left\langle \chi_{{}\displaystyle_{\bm{k}s}}(\bm{r}) \right\vert\hat{H}\left\vert \chi_{{}\displaystyle_{\bm{k}p_x}}(\bm{r}) \right\rangle = 2\,i\,V_{sp}\, \operatorname{sen}(k_x a) \;, \qquad \left\langl... ...tyle_{\bm{k}p_y}}(\bm{r})\rangle = 2\,i\,V_{sp}\, \operatorname{sen}(k_y a) \;,$$

$$\left\langle \chi_{{}\displaystyle_{\bm{k}p_z}}(\bm{r}) \right\vert\hat{H}\left\vert \chi_{{}\displaystyle_{\bm{k}p_z}}(\bm{r}) \right\rangle = \varepsilon_p + 2\,V_{pp\pi} \bigl[ \cos(k_x a) + \cos(k_y a) \bigr] \;,$$

$$\left\langle \chi_{{}\displaystyle_{\bm{k}p_x}}(\bm{r}) \right\vert\hat{H}\left\vert \chi_{{}\displaystyle_{\bm{k}p_x}}(\bm{r}) \right\rangle = \varepsilon_p + 2\,V_{pp\sigma} \cos(k_x a) + 2\,V_{pp\pi} \cos(k_y a) \;,$$

$$\left\langle \chi_{{}\displaystyle_{\bm{k}p_y}}(\bm{r}) \right\vert\hat{H}\left\vert \chi_{{}\displaystyle_{\bm{k}p_y}}(\bm{r}) \right\rangle = \varepsilon_p + 2\,V_{pp\pi} \cos(k_x a) + 2\,V_{pp\sigma} \cos(k_y a) \;.$$

Con estos elementos escribimos las expresiones correspondientes y podemos resolver (numéricamente) el sistema de ecuaciones para cada $\bm{k}$. A diferencia de los casos unidimensionales, en estos problemas se analiza el comportamiento de la relación de dispersión en puntos de la red recíproca con alta simetría; para ello se construyen recorridos entre

$$\Gamma = (k_x,k_y) = (0,0) \;,\qquad W$$    ó $$M = (\pi/a,\pi/a) \;,\qquad X = (\pi/a,0) \;,$$

parametrizando: $\Delta(t)=(1-t)(\pi/a,0)$ en el tramo $X$-$\Gamma$; $\Sigma(t)=t(\pi/a,\pi/a)$ entre $\Gamma$ y $M$; y de $M$ a $X$, $Z(t)=(\pi/a,(1-t)\pi/a)$, con $0\le t\le1$ en todos los casos. En la gráfica siguiente (tomada del texto de Kaxiras) se muestran las curvas correspondientes a las relaciones de dispersión asociadas con este sistema cuando se fijan los parámetros en $\varepsilon_s\!=\!-8.0\,$eV, $V_{ss}\!=\!-2.0\,$eV, $V_{sp}\!=\!-2.1\,$eV, $V_{pp\sigma}\!=\!+4.4\,$eV, $V_{pp\pi}\!=\!-1.8\,$eV y $\varepsilon_p\!=\!0\,$eV. Claramente se ve que no siempre están separadas las bandas cuando $\bm{k}$ alcanza un plano de Bragg (¿dónde están en este caso?).