Funciones de Wannier

No siempre es posible una descripción adecuada mediante la combinación lineal de orbitales atómicos (tight binding), ni tampoco es adecuada la hipótesis de potencial periódico débil. En tales casos pueden utilizarse expansiones similares a las planteadas en el modelo de tight binding

$$\psi_{n,\bm{k}}(\bm{r}) = \sum_{\bm{R}} f_n(\bm{R},\bm{r}) e^{i\bm{k}\cdot\bm{R}} \;,$$

es decir, un desarrollo que tiene en cuenta la periodicidad de $\psi_{n\bm{k}}$ como función de la variable $\bm{k}$ al trasladarla en un vector $\bm{G}$ cualquiera de la red recíproca, ya que $e^{i\bm{G}\cdot\bm{R}}\!=\!1\,$. Como siempre, los coeficientes de cada una de estas componentes se determinan aprovechando la ortogonalidad de estas ondas en la PZB

$$f_n(\bm{R},\bm{r}) = \frac{1}{v_{{}_{\rm ZB}}} \int_{\rm PZB} \,{\rm d}^3 k\; e^{-i\bm{k}\cdot\bm{R}} \psi_{n\bm{k}} \;.$$

Puede verse que es necesario que la dependencia de estos coeficientes con $\bm{R}$ y $\bm{r}$ sea de la forma $f_n(\bm{R},\bm{r})\!=\!f_n(\bm{r}\!-\!\bm{R})$, para que efectivamente se cumpla (ejercicio) el teorema de Bloch

$$\psi_{n\bm{k}}(\bm{r}+\bm{R}) = e^{i\bm{k}\cdot\bm{R}}\, \psi_{n\bm{k}}(\bm{r}) \;.$$ (5)

Se deja también como ejercicio mostrar que las funciones de Wannier $f_n$ resultan ortogonales si están centradas en distintos sitios de red o corresponden a diferentes bandas, es decir

$$\int\,{\rm d}^3 r\; f_n^*(\bm{r}\!-\!\bm{R})\, f_{n'}(\bm{r}\!-\!\bm{R}') \propto \delta_{n,n'} \delta_{\bm{R},\bm{R}'} \;,$$

de manera que conforman una base alternativa para encontrar los niveles electrónicos en un sólido cristalino.

Entre las muchas aplicaciones de las funciones de Wannier se encuentran intentos para describir propiedades de transporte, influencia de impurezas en los niveles electrónicos, y diversos fenómenos magnéticos en sólidos. Estos temas se discutirán en las secciones siguientes, aunque no profundizaremos en los cálculos basados en estas funciones.

Alternativamente a este método se han propuesto diferentes aproximaciones para describir la estructura electrónica en distintas situaciones, como las llamadas “funciones de onda de valencia”, el “método celular”, el modelo de “ondas planas aumentadas”, el de “ondas planas ortogonalizadas”, etc.