Dinámica de electrones: aproximación semiclásica (basado en el texto de Ashcroft)

La construcción que fuimos desarrollando permite describir el estado de un electrón en un sólido cristalino mediante una función de onda que respete el teorema de Bloch (4). A diferencia de la descripción mediante ondas planas de la que habíamos partido, utilizamos las correspondientes ondas de Bloch

$$\psi_{n\bm{k}}(\bm{r}) = e^{i\bm{k}\cdot\bm{r}} u_{n\bm{k}}(\bm{r}) \;,$$   con$$\qquad u_{n\bm{k}}(\bm{r}+\bm{R}) = u_{n\bm{k}}(\bm{r}) \;.$$

El objetivo de la aproximación semiclásica es retomar las descripciones originalmente propuestas en los modelos de Drude-Sommerfeld, pero considerando valores medios más realistas provistos mediante estas ondas de Bloch, las cuales involucran elementos representativos de la naturaleza cuántica de los fenómenos descriptos, así como de la periodicidad de la red cristalina analizada.

Anteriormente sugerimos que la velocidad media de los electrones de Bloch con vector de onda $\bm{k}$ está dada por

$$\bm{v}_n(\bm{k}) = \frac{1}{\hbar} \frac{\partial\varepsilon_n(\bm{k})}{\partial\bm{k}~~~} \;.$$ (19)

Para demostrarlo, es necesario recordar que las ondas de Bloch $\psi_{n\bm{k}}(\bm{r})$ son autofunciones del hamiltoniano individual, es decir

$$\hat{H}\,\psi_{n\bm{k}}(\bm{r}) = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\,\n... ...t] \psi_{n\bm{k}}(\bm{r}) = \varepsilon_n(\bm{k})\,\psi_{n\bm{k}}(\bm{r}) \;.$$

Como $\psi_{n\bm{k}}(\bm{r}) = e^{i\bm{k}\cdot\bm{r}} u_{n\bm{k}}(\bm{r})$,

$$\nabla^2\psi_{n\bm{k}} = \nabla\cdot \left[ \nabla \left( e^{i\b... ...right] = e^{i\bm{k}\cdot\bm{r}} \left(i\bm{k}+\nabla\right)^2 u_{n\bm{k}} \;,$$

con lo cual la ecuación de Schrödinger resulta

$$\hat{H}\,\psi_{n\bm{k}} = e^{i\bm{k}\cdot\bm{r}} \left[ -\frac{\... ...{k}} = e^{i\bm{k}\cdot\bm{r}} \varepsilon_n(\bm{k})\,u_{n\bm{k}}(\bm{r}) \;.$$

Según mostramos en §3.1.2, esto equivale a

$$\hat{H}_{\bm{k}}\, u_{n\bm{k}} = \varepsilon_n(\bm{k})\,u_{n\bm{k}} \;,$$   con$$\quad \hat{H}_{\bm{k}} = \frac{\hbar^2}{2m}(-i\,\nabla+\bm{k})^2 + U(\bm{r}) \;,$$

es decir, las $\varepsilon_n(\bm{k})\,$ también son los autovalores del operador $\hat{H}_{\bm{k}}$, cuyas autofunciones son las $u_{n\bm{k}}$. Este resultado es particularmente útil, ya que permite considerar pequeñas modificaciones a un valor de $\bm{k}$, cuyo efecto en las autoenergías puede escribirse como

$$\varepsilon_n(\bm{k}+\bm{q}) = \varepsilon_n(\bm{k}) + \nabla_{\b... ...rtial^2\varepsilon_n}{\partial k_j \partial k_\ell} q_jq_\ell+{\cal O}(q^3) \;.$$ (20)

En virtud de que $\varepsilon_n(\bm{k}+\bm{q})$ debe ser autovalor de

$$\hat{H}_{\bm{k}+\bm{q}} = \frac{\hbar^2}{2m}\left(-i\,\nabla+\bm{... ...2\!\!}{m}\,\bm{q}\cdot(-i\,\nabla+\bm{k}) + \frac{\hbar^2q^2}{2m} \right] \;,$$

las modificaciones a $\varepsilon_n(\bm{k})\,$ pueden considerarse como resultado de la perturbación entre corchetes. Para $\bm{q}$ pequeños tenemos en cuenta solo los términos hasta el primer orden, de modo que la perturbación será

$$\Delta\hat{H}_{\bm{k}+\bm{q}} \approx \frac{\hbar^2\!\!}{m}\,\bm{q}\cdot(-i\,\nabla+\bm{k}) \;,$$

cuyo efecto puede estimarse mediante teoría de perturbaciones a primer orden, utilizando las autofunciones $u_{n\bm{k}}(\bm{r})$ correspondientes a $\hat{H}_{\bm{k}}$

$$\Delta\varepsilon_n(\bm{k}) = \left\langle u_{n\bm{k}} \left\ver... ...^3 r\; u_{n\bm{k}}^*(-i\,\nabla+\bm{k})\,u_{n\bm{k}} \right] \cdot \bm{q} \;.$$

Comparando con la (20), identificamos

$$\nabla_{\bm{k}}\varepsilon_n = \frac{\hbar^2\!\!}{m} \int_v\,{\rm... ...\!}{m} \int_v\,{\rm d}^3 r\; \psi_{n\bm{k}}^*(-i\,\nabla)\,\psi_{n\bm{k}} \;.$$

La última igualdad se cumple ya que, como vimos, $-i\nabla\left(e^{i\bm{k}\cdot\bm{r}}u_{n\bm{k}}\right) = e^{i\bm{k}\cdot\bm{r}}(-i\nabla\!+\!\bm{k})\,u_{n\bm{k}}$. La relación obtenida es sumamente importante, ya que $(-i\hbar\nabla)/m$ es el operador velocidad, de manera que la integral en el miembro de la derecha involucra su valor de expectación $\langle v\rangle$ en el autoestado $\psi_{n\bm{k}}$. De este modo queda demostrada la asociación (19) para la velocidad media correspondiente a cada estado $\bm{k}$ de la banda $n\,$. Es interesante destacar que el principio de correspondencia nos lleva naturalmente a realizar esta asociación, que también podría plantearse en el contexto del teorema de Ehrenfest, teniendo en cuenta que la velocidad de grupo refleja el movimiento conjunto del paquete de ondas asociado al electrón.

Cada solución estacionaria $\psi_{n\bm{k}}$ tiene asociada entonces una velocidad media $\bm{v}_n(\bm{k})$ constante; como ya señalamos, esta se mantendría en ese valor indefinidamente. No puede argumentarse que las colisiones con los núcleos degrada ese estado, pues dichas interacciones ya han sido incluidas en el potencial periódico efectivo $U(\bm{r})$. En realidad el resultado de electrones que se propagan sin atenuación se corresponde con el modelo de cristal perfecto, donde las interferencias constructivas dan como consecuencia una onda estacionaria para describir el estado del electrón. Nuestra intuición siempre nos lleva a pensar en sucesivas dispersiones, las cuales efectivamente ocurren en un cristal real y como consecuencia implican que los metales siempre ofrecen cierta resistencia eléctrica. Esto tiene lugar porque en los cristales reales existen imperfecciones como iones faltantes en algunos sitios (vacancias), impurezas (sustituciones), dislocaciones, etc., además de vibraciones térmicas que alteran la rigidez que supone la periodicidad de una red de Bravais.

Más adelante tendremos en cuenta las dispersiones mencionadas y su influencia en los fenómenos de transporte. Ahora nos abocaremos a describir adecuadamente los tramos entre esas colisiones, valiéndonos del modelo semiclásico, que se basa en la expresión previa para las velocidades medias, y su evolución como respuesta a los diferentes campos externos aplicados. Este modelo trata los campos externos desde un enfoque clásico, mientras que el efecto del potencial se analiza a través de una descripción cuántica, que se refleja en la estructura de bandas $\varepsilon_n(\bm{k})$.

Para desarrollarlo, asociamos a cada electrón una posición $\bm{r}$, un vector de onda $\bm{k}$ y un índice $n$ correspondiente a una dada banda, y nos basamos en las siguientes hipótesis:

• el índice $n$ es una constante de movimiento: las transiciones entre bandas no están permitidas en este modelo;
• la evolución del vector posición está dada por las ecuaciones de movimiento

  $$\bm{\dot{r}} = \bm{v}_n(\bm{k}) = \frac{1}{\hbar} \frac{\partial\varepsilon_n(\bm{k})}{\partial\bm{k}~~~} \;; \hbar\bm{\dot{k}} = -e \left[ \bm{E}(\bm{r},t) + \frac{1}{c}\, \bm{v}_n(\bm{k})\times\bm{H}(\bm{r},t) \right] \;;$$ (21)

• los electrones deben respetar el principio de exclusión, por lo que en cada banda es imposible que compartan un estado con determinados $\bm{k}$ en la primera zona de Brillouin y coordenada de espín.