Implicancias y alcance del modelo

Varias características de esta aproximación se infieren directamente, antes de encarar algún ejemplo concreto. Por ejemplo, el hecho de que los campos externos no provoquen transiciones entre bandas tiene como consecuencia notable que los números de electrones en cada banda se mantienen fijos. Las propiedades del material en cuanto a los fenómenos de transporte estarán regidas por las poblaciones de cada banda: aquí se pondrá en evidencia la relevancia de las expresiones que puedan obtenerse para la determinación de la estructura de bandas, como las descriptas en capítulos anteriores.

La movilidad de los electrones en las bandas varía, porque están regidas por diferentes relaciones de dispersión $\varepsilon_n(\bm{k})$. Está claro que en el análisis correspondiente a una determinada temperatura $T$ (en general próxima a la temperatura ambiente), descartaremos aquellas bandas para las cuales todas sus energías excedan la energía de Fermi $\varepsilon_F$ en varias veces $k_B T$, ya que estarán completamente desocupadas. Pronto veremos que tampoco es necesario considerar aquellos estados cuyas energías sean bastante menores que $\varepsilon_F$, con lo cual se restringe mucho el número de portadores de carga que deben ser tenidos en cuenta en nuestra descripción.

Es importante señalar que cuando $U(\bm{r})$ se hace demasiado pequeño, el modelo semiclásico no puede utilizarse: cualquier campo eléctrico $\bm{E}$ constante aplicado haría crecer $\bm{k}$ indefinidamente, aunque como no pueden provocarse transiciones entre bandas, el electrón no puede superar la energía máxima de la banda donde se encuentra. Esto significa que el potencial debe tener una intensidad mínima —en comparación con el potencial aplicado (que da lugar a $\bm{E}$)— para que pueda emplearse este modelo; las condiciones que deben satisfacer entonces los campos externos en relación con la red cristalina se resumen como

$$\to\quad eEa \ll \frac{\bigl[\varepsilon_{\rm gap}(\bm{k})\bigr]^2}{\varepsilon_F} \to\quad \hbar\omega_c = \frac{e\hbar H}{mc} \ll \frac{\bigl[\varepsilon_{\rm gap}(\bm{k})\bigr]^2}{\varepsilon_F}$$

( $\omega_c\!=\!eH/(mc)$ es la frecuencia ciclotrónica). Aquí $a$ está relacionada con las constantes de la red, y $\varepsilon_{\rm gap}(\bm{k})$ es la diferencia entre las energías $\varepsilon_n(\bm{k})$ en dos bandas diferentes con el mismo valor de $\bm{k}$. La primera de estas restricciones siempre se cumple en los metales, aunque en aislantes (y algunos semiconductores) esta condición puede fallar, y campos eléctricos muy intensos pueden inducir una “ruptura eléctrica” (chisporroteo) provocando una transición interbandas. También debe prestarse atención al caso de campos magnéticos muy intensos, que pueden hacer que no se cumpla la segunda de las restricciones anteriores.

A estas limitaciones deben agregarse dos condiciones extras; una relacionada con la frecuencia $\omega$ de los campos electromagnéticos aplicados

$$\hbar\omega \ll \varepsilon_{\rm gap}$$

para evitar la posibilidad de inducir transiciones interbandas mediadas por un único fotón; y también debe cumplirse que la longitud de onda de los campos aplicados sea suficientemente grande

$$\lambda \gg a \;,$$

de manera que los paquetes de onda de los electrones sean adecuadamente descriptos.