Bandas llenas no conducen

Notando que para cualquier función periódica en el espacio $k\,$, $f(\bm{k}\!+\!\bm{G})\!=\!f(\bm{k})$, donde $\bm{G}$ es un vector de la red recíproca, se cumple

$$I_f(\bm{G}) = \int_{\rm PZB} \!\!\,{\rm d}^3 k\; f(\bm{k}+\bm{G}) = \int_{\rm PZB} \!\!\,{\rm d}^3 k\; f(\bm{k}) \;,$$

es decir, $I_f$ resulta independiente de $\bm{G}$ ⁸, podemos escribir

$$\frac{\,{\rm d}I_f}{\,{\rm d}\bm{G}} = 0 = \int_{\rm PZB} \!\!\,{... ...k\; \frac{\,{\rm d}~}{\,{\rm d}\bm{k}}{}^{\displaystyle f(\bm{k}+\bm{G})} \;.$$

En particular, tomando $\bm{G}\!=\!0$,

$$\int_{\rm PZB} \!\!\,{\rm d}^3 k\; \frac{\,{\rm d}~}{\,{\rm d}\bm{k}}{}^{\displaystyle f(\bm{k})} = 0 \;.$$

Para describir la conducción a partir del desplazamiento de los electrones, debemos computar la densidad de corriente

$$\bm{j} = (-e) \int_{\rm PZB} \frac{\,{\rm d}^3 k}{4\pi^3\!\!} \; \frac{1}{\hbar}\, \frac{\partial\varepsilon_n(\bm{k})}{\partial\bm{k}~~} \;,$$

mientras que para el transporte de energía tenemos

$$\bm{j}_\varepsilon = \int_{\rm PZB} \frac{\,{\rm d}^3 k}{4\pi^3\!... ...al~}{\partial\bm{k}}{}^{\displaystyle\left[\varepsilon_n(\bm{k})\right]^2} \;.$$

Tanto $\varepsilon_n$ como $\varepsilon_n^2$ son funciones periódicas, con el período de la red recíproca, de modo que aplicando el resultado anterior, vemos que en una banda completa (donde barremos todos los estados $\bm{k}$ ocupados) se cumple

$$\bm{j}=0$$   y$$\qquad \bm{j}_\varepsilon=0$$   (banda llena)$$\;.$$

Esto nos permite afirmar que las bandas que están completas no contribuyen a los fenómenos de transporte. Dicho de otro modo, la conducción de un material se debe solamente a las bandas parcialmente llenas: justamente eso es lo que proponían los modelos de Drude-Sommerfeld, ya que solo se consideraban los electrones “de valencia” aportados por los átomos a la banda de conducción. Por otro lado, cuando un sólido tiene todas las bandas completas, no tiene portadores disponibles para la conducción, y resulta aislante eléctrico y térmico (en lo relativo al transporte debido a los electrones).

Vale la pena recordar que como el número de estados disponibles en cada banda es dos veces el número de sitios de la red cristalina, para que un sólido cristalino sea aislante debe aportar un número par de electrones por celda primitiva —así cierto número de bandas se llenaría por completo. Sin embargo, hay muchos materiales que aportan un número par de electrones por celda, pero por el solapamiento entre sus bandas de energía, tienen bandas parcialmente llenas y por lo tanto resultan conductores.