Movimiento en un campo eléctrico constante (corriente continua)

En el caso en que las fuerzas aplicadas se deben a un campo eléctrico, la ecuación de movimiento (21) tiene como solución

$$\bm{k}(t) = \bm{k}_o - \frac{e\bm{E}}{\hbar}t \qquad\qquad \big(\bm{k}_o\equiv\bm{k}(0)\big) \;.$$

Aquí se pone nuevamente en evidencia el hecho de que una banda llena no aporta a la conducción, ya que la magnitud de la evolución de todos los vectores $\bm{k}$ es siempre la misma: los momentos cristalinos forzados a salir por una cara de la PZB “entran” por la cara opuesta ocupando los estados que simultáneamente se fueron liberando a la misma velocidad.

La corriente inducida no necesariamente será proporcional a $\bm{k}$, porque, como ya mencionamos, el momento cristalino no solo refleja la acción de las fuerzas externas, sino también la estructura del potencial periódico de la red. Pero sí sabemos que la corriente debe ser proporcional a la velocidad media $\bm{v}(\bm{k})$, que evolucionará con $t$ a través de la evolución de $\bm{k}(t)\,$:

$$\bm{v}\big(\bm{k}(t)\big) = \bm{v}\left(\bm{k}_o-\frac{e\bm{E}}{\hbar}t\right) \;.$$

Aquí encontramos un resultado que fácilmente nos lleva al paroxismo: $\bm{v}$ es periódica con $\bm{k}$ (y acotada), y como $\bm{k}$ varía linealmente con $t$, si $\bm{E}$ es paralelo a algún vector de la red recíproca, la corriente inducida por el campo será oscilatoria. Podemos ejemplificar estas “oscilaciones de Bloch” en el caso que resolvimos mediante tight-binding en una dimensión para orbitales $\lambda=p$ o $s$

$$\varepsilon(k) = \varepsilon_\lambda + 2\,\gamma_{{}\displaystyle... ... %= +\frac{2\,a\,\gs{p}}{\hbar} \sen\left(\frac{eEa}{\hbar}t-k_o a\right) \;.$$

Como en la PZB $\,-\pi\!\le \!ka\!\le\!+\pi$, hay valores de $k$ para los que la aceleración es contraria al campo aplicado: evidentemente esto refleja la acción del potencial periódico, además del efecto debido al campo externo. Conviene notar que en particular aquí se da que $v(ka\!\to\!\pm\pi)\to0$, es decir que aunque el campo externo trata de trasladar $k$ a través del plano de Bragg que delimita la PZB (en el sentido de $-E$), la velocidad se reduce hasta anularse, produciéndose una reflexión de Bragg: similar a las que observábamos para DRX, aunque en este caso se trata de los electrones. De la expresión anterior para $v(k)$ podemos explicitar la dependencia con $t$

 

$$v(t) = +\frac{2\,a\,\gamma_{{}\displaystyle_{p}}}{\hbar} \operatorname{sen}\left(\frac{eEa}{\hbar}t-k_o a\right) \;, \rule{14em}{0em}$$

donde se evidencian las oscilaciones que mencionábamos. Si entre colisiones los electrones pudieran trasladarse en el espacio $k$ una distancia mayor que las dimensiones de una zona de Brillouin, estas oscilaciones se traducirían como corriente alterna, lo cual es imposible. Sin embargo, ese trayecto recorrido entre colisiones es muchos órdenes de magnitud menor, de manera que estas oscilaciones de Bloch nunca se concretan.

Al desarrollar la separación entre bandas para electrones en un potencial periódico débil, evidenciamos otra forma de visualizar que los electrones se frenan al arrimarse a un plano de Bragg: allí es donde ocurren degeneraciones en las energías y vimos que al diagonalizar las perturbaciones, las soluciones resultaban mezclas de ondas planas en todas las direcciones involucradas, por lo que las correspondientes velocidades medias se anulan. Por último, también conviene pensar que el potencial efectivo hace que ocurran interferencias constructivas o destructivas entre las ondas transmitidas y reflejadas desde el conjunto de la red cristalina: cuando el campo eléctrico aumenta la energía de los electrones, esas interferencias van cambiando, y a medida que se acerca a la energía superior de una banda (borde de una zona de Brillouin), la probabilidad de que la función de onda se refleje completamente va aumentando hasta hacerse igual a 1 (100% reflexión, o transmisión nula) en el plano de Bragg.