Huecos

Los estados libres en una banda de energía suelen pensarse como “ausencia de electrones” con su carga negativa, o presencia de “huecos” con una carga positiva opuesta. La conveniencia de esta alternativa se pone de manifiesto al analizar el efecto Hall: como vimos en los problemas de la Guía 1, en algunos casos la predicción de los coeficientes resulta inadecuada, e incluso se los obtiene con el signo cambiado.

Para verificar que las dos descripciones resultan equivalentes en lo que respecta a los fenómenos de transporte, notemos que en el cálculo de la densidad de corriente eléctrica, el aporte de los electrones de una banda parcialmente llena es

$$\bm{j} = (-e) \int_{\bm{k}\,\rm ocup}\!\!\frac{\,{\rm d}^3 k}{4\pi^3}\; \bm{v}(\bm{k}) \;,$$

donde solo se abarca los estados $\bm{k}$ ocupados. Pero como $\bm{v}(\bm{k})$ es periódica,

$$\int_{\rm (P)ZB} \frac{\,{\rm d}^3 k}{4\pi^3}\; \bm{v}(\bm{k}) = ... ..._{\bm{k}\,\rm desoc}\!\! \frac{\,{\rm d}^3 k}{4\pi^3}\; \bm{v}(\bm{k}) = 0 \;.$$

Entonces podemos reescribir la contribución de los electrones al transporte de carga como

$$\bm{j} = (+e) \int_{\bm{k}\,\rm desoc}\!\!\frac{\,{\rm d}^3 k}{4\pi^3}\; \bm{v}(\bm{k}) \;,$$

Esto demuestra que da lo mismo pensar que los portadores de carga son los electrones (negativos) de una banda parcialmente llena, o los huecos (positivos) correspondientes a los estados desocupados de esa banda. Por supuesto, los huecos son partículas ficticias, pero como proveen la misma descripción, optaremos por la alternativa que resulte más conveniente. Lo que debe quedar claro es que no podemos mezclar las dos descripciones: o elegimos las cargas negativas (e$^-$) o bien trabajamos con los huecos (h$^+$) de cada banda involucrada. Cuando las bandas están casi llenas, lo más conveniente es describir su aporte considerando los huecos, porque son pocos portadores de carga (positiva); por la misma razón, cuando hay pocos electrones en una banda, lo más razonable es elegir las cargas negativas. Exactamente eso es lo que haremos en breve para estudiar los semiconductores, que a temperatura ambiente tienen “pocos” electrones en la banda de conducción, y, correspondientemente, “pocos” huecos en la banda de valencia.

Cuando estudiamos sistemas que se hallan en equilibrio (o en estados muy próximos), los niveles desocupados suelen estar cerca de la energía máxima de una banda. Si $\varepsilon(\bm{k})$ es máxima para cierto $\bm{k}_o$, como $\varepsilon'(\bm{k}_o)\!=\!0$, siempre podemos aproximar

$$\varepsilon(\bm{k}) \approx \varepsilon(\bm{k}_o) - A (\bm{k}-\bm{k}_o)^2 \;,\qquad ($$con$$\; A>0) \;.$$

Por analogía con el caso de partículas libres, se define una masa efectiva $m^*\!>\!0\,$ de manera que $\hbar^2/(2m^*)\!=\!A\,$. De este modo, en las proximidades de $\bm{k}_o$ se cumple

$$\bm{v}(\bm{k}) = \frac{1}{\hbar} \frac{\partial\varepsilon}{\part... ...c{\,{\rm d}\bm{v}(\bm{k})}{\,{\rm d}t} = - \frac{\hbar}{m^*}\,\bm{\dot{k}} \;,$$

es decir, la aceleración sería opuesta a $\bm{\dot{k}}$. Observando la ecuación de movimiento

$$\hbar\bm{\dot{k}} = -e \left[ \bm{E} + \frac{1}{c}\, \bm{v}(\bm{k})\times\bm{H} \right] \;,$$ (21)

notamos que cuando un electrón (cargado negativamente) que ocupa estados con energías próximas a la máxima de una banda es sometido a campos externos, con esta descripción su dinámica se correspondería con la de una masa $m^*\!<\!0$. Es más razonable cambiar de signo en ambos miembros, de manera que tanto la carga como la masa sean positivas: justamente hemos afirmado que los huecos pueden asociarse a cargas positivas, cuya evolución al aplicar campos externos es la que esperamos, cuando su masa (positiva) es $m^*$.

A menudo la aceleración $\bm{a}$ no es paralela a $\bm{\dot{k}}$. La restricción sobre estados próximos a la máxima energía de una banda es flexible, pero siempre es importante la correcta asociación del momento cristalino con una carga positiva o negativa: la condición se establece según el signo de la proyección de $\bm{a}$ sobre $\bm{\dot{k}}$, extendiendo el criterio presentado en la situación anterior. Para que $\bm{\dot{k}}\cdot\bm{a}<0$ debe cumplirse

$$\bm{\dot{k}}\cdot\frac{\,{\rm d}\bm{v}}{\,{\rm d}t} = \bm{\dot{k... ...{k}_i \frac{\partial^2\varepsilon}{\partial k_i\partial k_j} \dot{k}_j < 0 \;,$$

o lo que es equivalente,

$$\sum_{ij} \Delta_i \frac{\partial^2\varepsilon}{\partial k_i\partial k_j} \Delta_j < 0$$

para cualquier vector $\bm{\Delta}$. Esto es lo que ocurre en las proximidades de un máximo, pues al apartarnos de $\bm{k}_o$ las modificaciones a $\varepsilon$ deben ser negativas ( $\varepsilon$ decrece). En este caso entonces, en un entorno de $\bm{k}_o$, podemos asociar los estados electrónicos con la evolución de una carga positiva, es decir, elegimos la descripción mediante un hueco, representativo de los estados electrónicos desocupados, y próximos al tope de una banda.

Para incluir los casos en que $\bm{a}$ no es paralela a $\bm{\dot{k}}$ se define el tensor de masa efectiva M mediante la relación

$$\left[\textbf{M}^{-1\!}(\bm{k})\right]_{ij} = \pm \frac{1}{\hbar^... ... k_i\partial k_j} = \pm \frac{1}{\hbar} \frac{\partial v_i}{\partial k_j} \;,$$

donde el signo $+$ se aplica a la descripción de estados $\bm{k}$ próximos a un mínimo (e$^-$) y el signo $-$, a estados próximos a un máximo (h$^+$). De este modo podemos escribir

$$\bm{a} = \frac{\,{\rm d}\bm{v}}{\,{\rm d}t} = \pm \textbf{M}^{-1\!}(\bm{k})\, \hbar\bm{\dot{k}}$$

y las ecuaciones de movimiento (21) en una expresión similar a la de una masa clásica puntual

$$\textbf{M}(\bm{k})\, \bm{a} = \mp e \left[ \bm{E} + \frac{1}{c}\, \bm{v}(\bm{k})\times\bm{H} \right] \;.$$

La importancia del tensor de masa efectiva se pone de manifiesto al describir estados próximos a los bordes de las zonas de Brillouin (o a los planos de Bragg), donde la relación entre las energías y los momentos cristalinos se aparta notoriamente de la correspondiente a partículas libres. En particular, este es el caso de los semiconductores, que tienen unos pocos estados desocupados en el tope de la banda de valencia, y ocupados algunos de los estados de menor energía de la banda de conducción.