Movimiento en un campo magnético uniforme

La respuesta ante campos magnéticos externos constituye uno de los temas centrales del estudio de la materia condensada. El caso más sencillo corresponde a la aplicación de un campo magnético uniforme, en el que expresamos las ecuaciones de movimiento

$$\bm{\dot{r}} = \bm{v}(\bm{k}) = \frac{1}{\hbar}\, \frac{\partial... ...uad\qquad \hbar\bm{\dot{k}} = (-e)\, \frac{1}{c}\bm{v}(\bm{k})\times\bm{H} \;.$$

Puede verse que $k_\parallel\equiv\bm{k}\!\cdot\!\bm{H}/\vert\bm{H}\vert$ se mantiene constante, ya que las variaciones de $\bm{k}$ son perpendiculares al campo. Por otro lado, como además $\bm{\dot{k}}$ es normal a $\bm{v}(\bm{k})\!=\!\nabla_{\bm{k}}\varepsilon$, los cambios de $\bm{k}$ siempre mantienen al momento cristalino en una superficie de $\varepsilon(\bm{k})$ constante: tanto $k_\parallel$ como $\varepsilon(\bm{k})$ son entonces constantes de movimiento. Las trayectorias de los electrones en el espacio $k$ siempre son curvas que resultan de la intersección de superficies equipotenciales con planos normales al campo $\bm{H}$.

En el espacio real la proyección de las órbitas electrónicas en un plano normal a $\bm{H}$ es

$$\bm{r}_\perp = \bm{r} - \bm{\hat{H}} (\bm{\hat{H}}\cdot\bm{r}) \qquad\qquad (\bm{\hat{H}}=\bm{H}/\vert\bm{H}\vert) \;,$$

y podemos analizar el movimiento del electrón si multiplicamos vectorialmente por izquierda a la ecuación de movimiento por $\bm{\hat{H}}$, pues así extraemos la componente $\bm{\dot{r}}_\perp$ normal a $\bm{H}$

$$\bm{\hat{H}}\times\hbar\bm{\dot{k}} = -\frac{eH}{c} \left[ \bm{\d... ...(\bm{\hat{H}}\cdot\bm{\dot{r}}) \right] = -\frac{eH}{c} \bm{\dot{r}}_\perp \;,$$

donde hemos utilizado la relación general $\bm{A}\times(\bm{B}\times\bm{C})=\bm{B}(\bm{A}\cdot\bm{C})-\bm{C}(\bm{A}\cdot\bm{B})$. Entonces podemos integrar la última igualdad para obtener

$$\bm{r}_\perp(t)-\bm{r}_\perp(0) = -\frac{\hbar c}{eH} \bm{\hat{H}} \times \left[ \bm{k}(t)-\bm{k}(0) \right] \;.$$ (22)

El miembro de la izquierda representa la órbita proyectada, que resulta igual a la órbita en el espacio $k$ por un factor de escala $\hbar c/(eH)$ rotada 90° alrededor de $\bm{H}$.

Si los electrones pudieran describirse como partículas libres en el sólido, las superficies equipotenciales serían esféricas, pues $\varepsilon\!=\!\hbar^2k^2/(2m)$: el campo magnético generaría órbitas en el espacio $k$ que serían círculos, ya que $\varepsilon$ y $k_z(=\vert\bm{k}_\parallel\vert)$ deben ser constantes, como dijimos más arriba. En el espacio real, estas órbitas rotadas también son círculos, que es el resultado que esperamos para electrones libres sometidos a un $\bm{H}$ constante. En general las órbitas semiclásicas en un sólido real no son círculos, y en muchos casos ni siquiera resultan órbitas cerradas.