Campos eléctrico y magnético perpendiculares y uniformes

Cuando tenemos ambos campos aplicados, al incorporar el campo eléctrico en la ecuación (22) podemos reescribirla como

$$\bm{r}_\perp(t)-\bm{r}_\perp(0) = -\frac{\hbar c}{eH} \bm{\hat{H}} \times \left[ \bm{k}(t)-\bm{k}(0) \right] + \bm{w} t \;,$$

donde $\bm{w}\equiv(c/H)\bm{E}\times\bm{\hat{H}}$ (ejercicio). Esto implica que la órbita en el espacio real sigue siendo la del espacio $k$ rotada, desplazándose ahora con velocidad $\bm{w}$, perpendicular a $\bm{E}$ y $\bm{H}$. Para analizar cómo son las trayectorias $\bm{k}(t)$ podemos expresar

$$\hbar\bm{\dot{k}} = -\frac{e}{c\hbar} \frac{\partial\bar{\varepsilon}}{\partial\bm{k}} \times \bm{H} \;,$$   con$$\quad \bar{\varepsilon}(\bm{k}) = \varepsilon(\bm{k}) - \hbar\bm{k\cdot w}$$   (ejercicio).

El mismo análisis que hicimos antes nos permite concluir que, aunque $\bar{\varepsilon}(\bm{k})$ no es una función periódica, esta cantidad es una constante de movimiento. Esto significa que las órbitas en el espacio $k$ evolucionan en las intersecciones de planos perpendiculares al campo $\bm{H}$ con superficies de $\bar{\varepsilon}(\bm{k})$ constantes.

En el caso de campo magnético intenso (igual o superior a unos $10^4\,$gauss = 1T), las $\bar{\varepsilon}$ resultan muy parecidas a las $\varepsilon$, las corrientes inducidas por los campos aplicados pueden cambiar de manera notoria si las órbitas de los electrones resultan cerradas o bien si se tienen algunos estados con órbitas abiertas. En el primer caso (órbitas cerradas), como el campo es muy intenso, estas órbitas pueden cruzarse varias veces entre colisiones sucesivas, o lo que es equivalente, el período de las órbitas es pequeño frente a los tiempos de relajación $\tau$. Para calcular la corriente inducida necesitamos estimar la velocidad media entre colisiones $\bm{v}$, ya que sabemos que la densidad de corriente es $\bm{j}=-ne\bm{v}$. Entre $t\!=\!0$ y $t\!=\!\tau$ podemos plantear

$$\frac{\bm{r}_\perp(\tau)-\bm{r}_\perp(0)}{\tau} = -\frac{\hbar c}{eH} \bm{\hat{H}} \times \frac{\bm{k}(\tau)-\bm{k}(0)}{\tau} + \bm{w} \;.$$

Como las órbitas son cerradas y el campo es alto, la contribución del primer término de la izquierda es muy pequeña frente a $\bm{w}$, por lo que la corriente inducida en el plano transversal al campo resulta

$$\bm{j}_\perp \simeq -ne\bm{w} = -\frac{nec}{H}\bm{E}\times\bm{\hat{H}} \;.$$

(Por supuesto, si nuestro análisis se basa en el transporte de huecos, debe asignarse la carga positiva ($+e$) correspondiente, y el número de huecos $n_h$ por unidad de volumen.) La fuerza de Lorentz entonces hace que los portadores de carga no tomen energía del campo eléctrico, sino que se desplazan provocando corrientes perpendiculares al campo $\bm{E}$.

Una forma de evidenciar este efecto es a través del coeficiente Hall correspondiente, el que resulta

$$R_H = -\frac{1}{nec}$$   $$\mbox{(para e$^-$)}$$$$\;, \qquad\qquad R_H = +\frac{1}{n_hec}$$   $$\mbox{(para h$^+$)}$$$$\;.$$

El coeficiente de la izquierda es exactamente el que habíamos obtenido mediante la descripción de Drude-Sommerfeld. Obviamente este sólo es válido cuando los portadores de interés son electrones, mientras que si consideramos bandas casi llenas, donde es conveniente pensar que los responsables del transporte de carga son los huecos, se agrega la alternativa de cálculo mediante la expresión de la derecha. Claramente, estas predicciones permiten abarcar el signo correcto del coeficiente Hall en las situaciones que resultaban conflictivas para la descripción de Drude-Sommerfeld. En algunos casos deben considerarse varias bandas, en las cuales se cumple que las órbitas son cerradas (para electrones y huecos) y por lo tanto son válidas las expresiones anteriores: la corriente total en este caso debe involucrar al número efectivo de portadores de carga $n_{\rm ef}=n-n_h$, resultando

$$R_H = -\frac{1}{n_{\rm ef}\,ec} \;.$$

Cuando en los materiales pueden darse órbitas abiertas al menos en una banda, los resultados cambian notoriamente: los electrones ahora no pueden realizar un movimiento periódico, y entonces las colisiones no logran neutralizar los impulsos adquiridos en la dirección de $\bm{E}$, de manera que los electrones consumen energía del campo eléctrico. Si en alguna región del espacio real una órbita recorre una dirección $\bm{\hat{n}}(\bm{r})$, si $\bm{\hat{n}}(\bm{r})\!\bm{\cdot\!E}\neq0$ habrá una componente de la corriente según $\bm{\hat{n}}(\bm{r})$. Aunque no entraremos en detalles de cuentas, puede descomponerse el tensor de conductividad para escribir

$$\bm{j} = \sigma_1 (\bm{\hat{n}}\!\bm{\cdot\!E})\bm{\hat{n}} + \bm{\overline{\sigma}}_2\bm{\cdot E} \;,$$ (23)

donde $\bm{\overline{\sigma}}_2$ es un tensor que decae como $H^{-2}$ (como en el caso de órbitas cerradas); $\sigma_1$ en cambio es un escalar que cuando $H\to\infty$ se hace constante. Esto implica que el coeficiente Hall se aparta de la forma sencilla de las expresiones anteriores, y la estructura geométrica del primer término de la derecha en (23) implica que la magnetorresistencia a campo alto no está acotada cuando $H\to\infty$. Al contrario de lo que ocurre con un gas de electrones libres, donde la magnetorresistencia $\rho_{xx}$ es constante e independiente del campo, en la situación de órbitas abiertas $\rho_{xx}$ depende del campo, y cuando $H\to\infty$ diverge como $H^2$. Esto está íntimamente asociado con la estructura de la superficie de Fermi, y se han diseñado experimentos para determinarla a partir del relevamiento de la magnetorresistencia.