Dispersión de electrones y fenómenos de transporte

La construcción de un hamiltoniano que provea una descripción realista de la respuesta de un sólido a campos externos, tanto electromagnéticos como térmicos, es una tarea compleja; mucho más difícil es resolverlo. Pero sabemos que los cristales perfectos que hemos descripto ofrecerían resistencia eléctrica nula, lo que solo ocurre excepcionalmente en los superconductores. En los materiales reales diferentes procesos desvían su respuesta de las situaciones ideales descriptas; sin embargo, tener en cuenta en detalle las dispersiones sufridas por los electrones es sumamente complicado, por lo que se recurre a técnicas estadísticas para estimar su efecto en promedio, utilizando las ecuaciones de movimiento clásicas.

La aproximación de electrones independientes debe complementarse con perturbaciones representativas de estas dispersiones, que ocurren por la presencia de defectos (vacancias, dislocaciones, sustituciones, etc.) o impurezas en la red cristalina, y también por desviaciones de la estructura a través del tiempo, como ocurre en el caso de las vibraciones colectivas. Además deberían contemplarse las interacciones entre los electrones que se desplazan, aunque en realidad este efecto resulta mucho menos importante.

En un evento de dispersión, un electrón originalmente asociado al momento cristalino $\bm{k}$ cambia a otro estado identificado con $\bm{k'}$. Esta transición se representa mediante la cantidad $W_{\bm{k},\bm{k'}}$, definida como la probabilidad por unidad de tiempo de que un electrón con momento $\bm{k}$ sufra una interacción que lo lleve a un estado final con momento cristalino en un entorno $\,{\rm d}^3k'$ de $\bm{k'}$ —por supuesto, siempre que el estado final $\bm{k'}$ no se encuentre ocupado (por el principio de exclusión). En el caso general los electrones se mantienen en la misma banda, y además se espera que los eventos de dispersión no modifiquen las coordenadas de espín, lo que puede perder validez si ocurre una dispersión magnética. Entonces esta definición permite representar con

$$\frac{W_{\bm{k},\bm{k'}}\, \,{\rm d}t\, \,{\rm d}^3k'}{(2\pi)^3}$$

la probabilidad de que en el intervalo $(t,t\!+\!\,{\rm d}t)$ un electrón con $\bm{k}$ sea dispersado hacia estados $\,{\rm d}^3k'$ alrededor de $\bm{k'}$ sin cambiar su espín.

Si contamos con la distribución de probabilidades $g(\bm{k})$ que represente la ocupación de los estados asociados a cada momento cristalino $\bm{k}$, la probabilidad de que el estado $\bm{k'}$ esté desocupado es $1\!-\!g(\bm{k'})$. Entonces la probabilidad total por unidad de tiempo de que el electrón tenga alguna colisión que lo lleve hacia un estado cualquiera $\bm{k'}\neq\bm{k}$ puede expresarse como

$$\frac{1}{\tau(\bm{k})} = \int \frac{\,{\rm d}^3k'}{(2\pi)^3}\; W_{\bm{k},\bm{k'}} \Big[ 1-g(\bm{k'}) \Big] \;.$$

En esta expresión se pone en evidencia que $\tau$ depende de $\bm{k}$, a diferencia de lo propuesto en la §1.1. Para encontrar $g(\bm{k})$ conviene notar que por unidad de tiempo su disminución debe ser igual al producto de la fracción de electrones en un entorno $\,{\rm d}^3k$ de $\bm{k}$ (igual a $g(\bm{k})\,{\rm d}^3k$) por la probabilidad total de colisionar, cambiando del estado $\bm{k}$ al $\bm{k'}$ (dada por $1/\tau(\bm{k})$), es decir

$$\left(\frac{\,{\rm d}g}{\,{\rm d}t}\right)_{\rm sal} = -\frac{g(\... ...ac{\,{\rm d}^3k'}{(2\pi)^3}\; W_{\bm{k},\bm{k'}} \Big[ 1-g(\bm{k'}) \Big] \;.$$

De manera análoga, habrá electrones originalmente con $\bm{k'}$ que colisionan con probabilidad $W_{\bm{k'}\!,\bm{k}}$ pasando al estado $\bm{k}$, de manera que esto incrementa la población de estados representada por $g(\bm{k})$

$$\left(\frac{\,{\rm d}g}{\,{\rm d}t}\right)_{\rm ent} = \Big[ 1-g(... ...] \int \frac{\,{\rm d}^3k'}{(2\pi)^3}\; W_{\bm{k'}\!,\bm{k}}\, g(\bm{k'}) \;.$$

Reuniendo estas dos contribuciones, escribimos el cambio total de $g(\bm{k})$ por efecto de las colisiones como

$$\left(\frac{\,{\rm d}g}{\,{\rm d}t}\right)_{\rm col} = - \int \fr... ...) \Big] - W_{\bm{k'}\!,\bm{k}}\, g(\bm{k'}) \Big[ 1-g(\bm{k}) \Big] \bigg\} \;.$$ (24)

En presencia de un campo externo

$$\bm{F}(\bm{r},\bm{k}) = -e\, \left[ \bm{E} + \frac{1}{c}\bm{v}(\b... ...\times\bm{H} \right] \textcolor{gray}{\left( = \hbar\bm{\dot{k}} \right)} \;,$$

se pone en evidencia que la distribución $g(\bm{k})$ depende también de $\bm{r}$, además de depender de $t$, porque no hemos planteado una situación necesariamente estacionaria: esto significa que las derivadas anteriores deben entenderse como derivadas parciales que aíslan el efecto de las colisiones. Los cambios que se producen en $g$ por unidad de tiempo, se deberán a los que se producirían si no hubiera dispersiones más los asociados a las variaciones (24) inducidas por colisiones. Explicitando entonces la derivada total de $g$ con respecto a $t$, se deja como ejercicio mostrar que esto conduce a la ecuación de transporte de Boltzmann

$${\fbox{\ \ \ $\displaystyle \frac{\partial g}{\partial t} + \bm{v... ...ac{\partial g}{\partial t}\right)_{\rm col} \rule[-1.8em]{0em}{4em}$\ \ \ \ } }$$ (25)

Para el caso de dispersiones causadas por interacciones que pueden considerarse débiles, los elementos $W_{\bm{k},\bm{k'}}$ pueden obtenerse mediante teoría de perturbaciones dependientes del tiempo. Por ejemplo, para tener en cuenta dispersiones con $n_i$ impurezas por unidad de volumen descriptas mediante el potencial de interacción $V(\bm{r})$, se arriba a la expresión

$$W_{\bm{k},\bm{k'}} = \frac{2\pi}{\hbar} n_i\, \delta\big(\vareps... ...\rule{0em}{0.8em} \right\vert V\left\vert \bm{k'} \right\rangle \Big\vert^2\;.$$

Esta relación se deriva utilizando la regla de oro de Fermi, que involucra la restricción de $\varepsilon(\bm{k})\!=\!\varepsilon(\bm{k'})\,$: cuando no se cumple esta igualdad, entonces $W_{\bm{k},\bm{k'}}\!=\!0$, o lo que es lo mismo, solo tienen lugar dispersiones elásticas. Además se cumple que $W_{\bm{k'}\!,\bm{k}}\!=\!W_{\bm{k},\bm{k'}}$, en virtud de que $V(\bm{r})$ debe ser hermitiano; esta condición también se conoce como “balance detallado”, y se deja como ejercicio verificar que la (24) se reduce a

$$\left(\frac{\,{\rm d}g}{\,{\rm d}t}\right)_{\rm col} = - \int \f... ... d}^3k'}{(2\pi)^3}\; W_{\bm{k},\bm{k'}}\, \Big[ g(\bm{k})-g(\bm{k'}) \Big] \;.$$

La ecuación de transporte de Boltzmann permite modelar la conductividad eléctrica, dar cuenta de efectos termoeléctricos, describir la ley de Wiedemann-Franz, y también analizar fenómenos de transporte en nanoestructuras. Aquí presentaremos sucintamente los pasos para obtener algunas de estas cantidades en casos de campos externos simples.

Por un lado se plantea la situación en que los campos externos son débiles, por lo que la distribución $g(\bm{r},\bm{k})$ puede pensarse como una perturbación a la de equilibrio $g_o(\varepsilon)$, resultando adecuada la estimación linealizada

$$g(\bm{r},\bm{k}) = g_o(\varepsilon) + g_1(\bm{r},\bm{k}) \;.$$

Esto se complementa computando el miembro de la derecha en la ec. (25) en la llamada “aproximación de tiempo de relajación”

$$\left(\frac{\partial g}{\partial t}\right)_{\rm col} = -\frac{g-g_o}{\tau} = -\frac{g_1}{\tau} \;.$$