Conductividad eléctrica de un metal (basado en los textos de Dresselhaus y Economou)

En el caso de campo eléctrico estático (DC) y campo magnético nulo, nos interesa relacionar la densidad de corriente $\bm{j}$ con $\bm{E}$ a través del tensor de conductividad $\overset{\scriptsize\leftrightarrow}{\bm{\sigma}}$

$$\bm{j} = \overset{\scriptsize\leftrightarrow}{\bm{\sigma}}\cdot\bm{E}$$ (26)

Como el campo no depende de $t$, se anula el primer término de (25) ( $\partial g/\partial t=0$), mientras que para el segundo término podemos suponer que

$$\frac{\partial g}{\partial\bm{r}} \simeq \frac{\partial g_o}{\partial\bm{r}} = \frac{\partial g_o}{\partial T}\,\nabla T \;,$$

de modo que cuando no hay gradientes de temperatura este término también se anula. Entonces en el tercer término sólo interviene $\bm{F}\!=\!q\bm{E}$, con $q\!=\!\pm e$, según se trate de huecos o electrones. De este modo

$$\frac{\partial g}{\partial\bm{k}}\cdot\bm{\dot{k}} = \frac{q}{\hb... ...\ = q\frac{\partial g_o}{\partial\varepsilon}\,\bm{v}(\bm{k})\cdot\bm{E} \;,$$

donde omitimos el término $\partial g_1/\partial\bm{k}\cdot\bm{E}$, de segundo orden en $E\,$ (campos débiles). Utilizando la aproximación de tiempo de relajación,

$$\frac{\partial g}{\partial\bm{k}}\cdot\bm{\dot{k}} = q\frac{\part... ... -q\tau \bm{E}\cdot\bm{v}(\bm{k})\frac{\partial g_o}{\partial\varepsilon} \;.$$

Con estos elementos podemos estimar la densidad de corriente

$$\bm{j} = \frac{q}{4\pi^3\!} \int\!\,{\rm d}^3k\; \bm{v}(\bm{k})\,... ...rac{q}{4\pi^3\!} \int\!\,{\rm d}^3k\; \bm{v}(\bm{k})\,g_o(\bm{k}) \right)} \:.$$

donde el último término se anula porque la distribución $g_o$ corresponde al caso libre de campo externo. Sustituyendo la expresión obtenida para $g_1$,

$$\bm{j} = -\frac{q^2\,\bm{E}}{4\pi^3\!}\cdot \!\int\!\,{\rm d}^3k\... ... \bm{v}(\bm{k})\,\bm{v}(\bm{k})\,\frac{\partial g_o}{\partial\varepsilon} \;,$$

y comparando con (26), identificamos

$$\overset{\scriptsize\leftrightarrow}{\bm{\sigma}} = -\frac{~q^2}... ...\bm{v}(\bm{k})\,\bm{v}(\bm{k})\, \frac{\partial g_o}{\partial\varepsilon} \;.$$

Estas integrales pueden evaluarse para los diferentes valores de $\varepsilon$ que intervienen, descomponiendo $\bm{k}$ para abarcar desplazamientos sobre superficies equipotenciales ( $\,{\rm d}S$) y normales a ellas ( $\,{\rm d}k_\perp$), de modo que

$$\int\! \big(\cdot\big) \,{\rm d}^3k = \int\! \big(\cdot\big) \,{\... ...rac{\,{\rm d}\varepsilon}{\left\vert\nabla_{\bm{k}}\varepsilon\right\vert} \;.$$

El tensor de conductividad puede computarse entonces como

$$\overset{\scriptsize\leftrightarrow}{\bm{\sigma}} = -\frac{~q^2}... ...\bm{k}}\varepsilon\right\vert}\, \frac{\partial g_o}{\partial\varepsilon} \;,$$

donde hacemos hincapié en el hecho de que $g_o$ es la distribución de equilibrio termodinámico sin campos aplicados, es decir, la distribución de Fermi-Dirac. Para temperaturas bajas (como la temperatura ambiente), y aproximando los electrones de conducción de un metal como partículas libres, $-\partial g_o/\partial\varepsilon$ puede reemplazarse por una delta de Dirac, con lo cual la expresión anterior se simplifica

$$\overset{\scriptsize\leftrightarrow}{\bm{\sigma}} = -\frac{~q^2}... ...ar\!} \!\int_{\varepsilon_F}\!\,{\rm d}S\; \frac{\tau\,\bm{v}\,\bm{v}}{v} \;.$$

En una red cúbica, la simetría anula los elementos no diagonales de este tensor y para los valores cuadráticos medios de cada componente se cumple (ejercicio) $\langle v_\alpha^2\rangle\!=\!v^2/3,\;(\alpha\!=\!x,y,z)$, resultando idénticos los tres elementos diagonales:

$$\sigma = -\frac{~q^2}{4\pi^3\hbar\!} \int_{\varepsilon_F} \!\!\,{... ...^2}{4\pi^3\hbar\!} \int_{\varepsilon_F}\!\!\,{\rm d}S\; \frac{\tau\,v}{3} \;.$$

Recordando las definiciones de velocidad e impulso de Fermi para electrones libres

$$n=\frac{N}{V}=\frac{1}{4\pi^3}\,\frac{4\pi k_F^3}{3} \qquad\qquad \hbar k_F = m v_F \;,$$

reobtenemos la expresión de Drude (1) para la conductividad (ejercicio).

La descripción de la conductividad térmica quedó sugerida al comienzo de esta sección, al mencionar los gradientes de temperatura: en el caso en que estos no se anulan, la inclusión del término correspondiente permite dar cuenta de este fenómeno, así como de los efectos termoeléctricos mencionados en la sección §1. Del mismo modo podrían incluirse los campos magnéticos externos en esta descripción, para obtener información acerca de los coeficientes Hall y la magnetorrestistencia.