Conductividad eléctrica (corriente continua)

Según la ley de Ohm, la corriente eléctrica $I\,$ que atraviesa un cable se relaciona con la diferencia de potencial $V\,$ aplicada entre sus extremos mediante la resistencia $R\,$ del cable

$$V = I\,R \;.$$

Esta resistencia solo depende del material y de sus dimensiones, pero no de $I\,$ o de $V$. Para independizarnos de la forma particular del cable utilizamos la resistividad $\rho\,$ y la densidad de corriente $\bm{j}\,$ (carga por unidades de área y de tiempo), de manera que cuando se aplica un campo eléctrico $\bm{E}\,$ en un material se cumple la relación $\bm{E}\!=\!\rho\,\bm{j}\,$. En el caso de corriente $I\,$ uniforme en un cable de longitud $L\,$ y área transversal $A\,$ resulta

$$\bm{j} = \frac{I}{A}$$   y$$\qquad E\, (=\vert\bm{E}\vert) = \frac{V}{L} = \frac{AR}{L}\,j \qquad \Rightarrow \qquad \rho = \frac{AR}{L} \;.$$

Cuando en un metal circulan $n\,$ electrones por unidad de volumen con velocidad media $\bm{v}$, la densidad de corriente $\bm{j}\,$ será paralela a $\bm{v}$. En un intervalo diferencial d$t\,$, cada electrón avanza una longitud $v\,\,{\rm d}t\,$ (en la dirección de $\bm{v}$) portando una carga $-e$, de manera que en ese lapso $n\,(v\,\,{\rm d}t)\,A\,$ electrones atraviesan el área transversal $A\,$ generándose una densidad de corriente $\bm{j}\!=\!-ne\bm{v}$. Conviene recalcar que si bien los electrones pueden moverse en diferentes direcciones, $\bm{v}$ representa un promedio; por ejemplo si $\bm{E}\!=\!0$ entonces $\bm{v}\!=\!0$, lo cual solo tiene sentido como valor medio. Cuando $\bm{E}\!\neq\!0$, el movimiento de los electrones se opone al campo, ya que las cargas en movimiento son negativas.

Con un campo $\bm{E}$ aplicado, si en $t\!=\!0$ un electrón colisionó por última vez y salió con velocidad $\bm{v}_o$, en el instante $t\,$ tendrá una velocidad $\bm{v}_o\!-\!(e\bm{E}/m)t$. El aporte de $\bm{v}_o$ al transporte de carga es nulo, puesto que las direcciones están isotropizadas luego de cada interacción, de modo que en el intervalo $\tau\,$ transcurrido (en promedio) hasta la siguiente colisión la velocidad media será $\bm{v}_m\!=\!-(e\bm{E}/m)\tau$, con lo cual la densidad de corriente debida al movimiento de los electrones será $\bm{j}\!=\!-ne\bm{v}_m$, es decir

$$\bm{j} = \frac{ne^2\tau}{m}\bm{E} \;,$$

de manera que en términos de la conductividad $\sigma\equiv1/\rho$ podemos escribir la ley de Ohm

$$\bm{j} = \sigma\,\bm{E} \qquad \sigma = \frac{ne^2\tau}{m} \;.$$ (1)

Como la resistividad $\rho\,$ puede medirse, esta última relación permite estimar el tiempo de relajación como $\tau\!=\!m/(\rho^{}n^{}e^2)$. A temperatura ambiente resultan valores $\tau\sim10^{-15}$-$10^{-14}\,$s. Para ver cuán razonables son estos resultados, conviene evaluar la magnitud asociada al “camino libre medio” (distancia media entre colisiones) $\ell\!=\!v_o\tau$, donde $v_o$ es la velocidad media de los electrones (sin campo). Para ello recuperamos de un gas ideal la relación $mv_o^2/2\!=\!(3/2)k_BT$, donde $k_B\!=\!1,38\!\times\!10^{-16}\,$erg/K es la constante de Boltzmann; entonces, a temperatura ambiente tenemos valores típicos de $v_o\!\sim\!10^7$ cm/s, con lo cual $\ell\!\sim$1 Å -10 Å, que resulta similar al radio $r_s$ de las esferas mencionadas más arriba. No obstante, como veremos pronto los valores estimados así para $v_o$ resultan demasiado pequeños (1 orden de magnitud); además la resistividad experimental a bajas temperaturas (77 K) es unas 10 veces menor a la resistividad a temperatura ambiente, por lo que los $\tau\,$ estimados para bajas temperaturas resultan 10 veces mayores que a temperatura ambiente, a pesar de que $v_o$ es en realidad independiente de la temperatura: entonces, para bajas temperaturas la estimación de $\ell$ podría llegar a $\sim\!1000\,$Å, que representa 1000 veces el espaciamiento típico entre iones, lo que constituye una evidente falla en el modelo de Drude.

A pesar de los defectos mencionados, ciertas estimaciones realizadas mediante este modelo resultan válidas. En el caso de una fuerza externa $\bm{f}(t)$, para el incremento en el impulso $\bm{p}$ de los electrones puede escribirse (ejercicio)

$$\bm{p}(t+\,{\rm d}t) = \left(1-\frac{\,{\rm d}t}{\tau}\right) \Bigl[ \bm{p}(t) + \bm{f}(t) \,{\rm d}t + {\cal O}(\,{\rm d}t^2)\Bigr] \;,$$

de donde (otro ejercicio)

$$\frac{\,{\rm d}\bm{p}}{\,{\rm d}t} = - \frac{\bm{p}(t)}{\tau} + \bm{f}(t) \;.$$

Esta expresión es útil para computar el efecto Hall en un metal al que se aplica un campo magnético externo $\bm{B}$, en cuyo caso la fuerza de Lorentz interviene como fuerza externa aplicada, es decir $\bm{f}\!=\!-(e/c)\,\bm{v}\times\bm{B}$.