Conductividad eléctrica (corriente alterna)

Cuando el campo eléctrico aplicado es alterno, conviene emplear la notación compleja

$$\bm{E}(t) = \operatorname{Re}\left[ \bm{E}(\omega)\,e^{-i\omega t} \right] \;.$$

En este caso podemos utilizar el resultado anterior para escribir

$$\frac{\,{\rm d}\bm{p}}{\,{\rm d}t} = - \frac{\bm{p}}{\tau} - e\,\bm{E} \;.$$

Como buscamos una solución (estacionaria) de la forma

$$\bm{p}(t) = \operatorname{Re}\left[ \bm{p}(\omega)\,e^{-i\omega t} \right] \;,$$

la ecuación anterior resulta

$$-i\omega\,\bm{p}(\omega) = - \frac{\bm{p}(\omega)}{\tau} - e\,\bm{E}(\omega) \;.$$

Recordando que $\bm{j}\!=\!-ne\bm{p}/m$, tendremos también

$$\bm{j}(t) = \operatorname{Re}\left[ \bm{j}(\omega)\,e^{-i\omega t} \right] \;,$$   donde$$\qquad \bm{j}(\omega) = -\frac{ne\bm{p}(\omega)}{m} = \frac{(ne^2/m) \bm{E}(\omega)}{1/\tau-i\omega} \;,$$

o bien

$$\bm{j}(\omega) = \sigma(\omega)\,\bm{E}(\omega) \;, \quad \sigma(\omega) = \frac{\sigma_o}{1-i\omega\tau} \;,$$ (2)

donde notamos la conductividad para corriente continua como $\sigma_o\!=\!ne^2\tau/m$. Así hemos obtenido la conductividad eléctrica $\sigma(\omega)$ para corriente alterna con frecuencia $\omega$. Este resultado tiene aplicaciones respecto de la propagación de radiación electromagnética en metales, para lo cual conviene recordar que siempre que tengamos un campo eléctrico oscilante tendremos también un campo magnético transversal asociado a esa onda, y en principio estos campos pueden cambiar con la posición $\bm{r}$ dentro del metal.

En realidad el término de la fuerza de Lorentz es varios órdenes menor que el correspondiente al campo eléctrico, por lo que resulta despreciable. En cuanto a las variaciones de $\bm{E}$ con la posición, conviene notar que la densidad de corriente en $\bm{r}$ queda determinada por la última colisión sufrida por el electrón, la cual suele ubicarse a unos pocos caminos libres medios $\ell\,$ de $\bm{r}$; en esos casos la ec. (2) es válida para relacionar $\bm{j}(\bm{r},\omega)$ con $\bm{E}(\bm{r},\omega)$ en cada $\bm{r}$ si la longitud de onda $\lambda$ del campo electromagnético es bastante mayor que $\ell\,$ (por ejemplo, la luz visible, donde $\lambda\simeq1000\,$Å). Cuando se cumple entonces la condición $\lambda\gg\ell$ podemos recurrir a las ecuaciones de Maxwell

$$\nabla\cdot\bm{E} = 0\footnote{En esta aproximación se asume que... ...m{H} = \frac{4\pi}{c}\bm{j} + \frac{1}{c}\frac{\partial\bm{E}}{\partial t} \;,$$

y proponer nuevamente soluciones oscilatorias ( $\propto e^{-i\omega t}$). Aplicando entonces el rotor a la tercera de estas ecuaciones

$$\nabla\times(\nabla\times\bm{E}) = \textcolor{gris}{\nabla(\nabla... ...{i\omega}{c} \left( \frac{4\pi}{c}\bm{j} - \frac{i\omega}{c}\bm{E} \right) \;,$$

de donde

$$-\nabla^2\bm{E} = \frac{\omega^2}{c^2} \left( 1+\frac{4\pi i\sigma}{\omega} \right) \bm{E} = \frac{\omega^2}{c^2} \epsilon(\omega) \bm{E} \;.$$

Obtenemos entonces la ecuación de ondas habitual, definiendo la constante dieléctrica compleja

$$\epsilon(\omega) = 1+\frac{4\pi i\sigma}{\omega} \;.$$

Para altas frecuencias, es decir, $\omega\tau\!\gg\!1$, la ec. (2) permite escribir $\sigma(\omega)\!=\!i\sigma_o/(\omega\tau)\!=\!ine^2/(m\omega)$, de manera que en primera aproximación

$$\epsilon(\omega)=1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2} \;,$$   con$$\quad \omega_p^2=\frac{4\pi ne^2}{m} \;,$$

donde $\omega_p$ es conocida como frecuencia de plasma. Como $\epsilon$ se vuelve real y negativo para $\omega<\omega_p$, las soluciones para $\bm{E}$ decaen exponencialmente y por ende la radiación no se propaga en el metal. En cambio cuando $\epsilon$ es positivo ( $\omega>\omega_p$), las soluciones son oscilatorias, de manera que la radiación puede propagarse y el metal resulta transparente. Como habíamos planteado, todo esto vale siempre que en las proximidades de $\omega\!=\!\omega_p$ estemos en el régimen de altas frecuencias $\omega\tau\!\gg\!1$. Para el caso de metales alcalinos estas hipótesis son válidas, y las longitudes de onda para las cuales resultan transparentes a la radiación son predichas con bastante éxito.

Una consecuencia importante de estos resultados es que predicen también oscilaciones de carga, ya que $\bm{j}$ representa justamente el movimiento colectivo de los electrones del metal. Estas ondas de densidad de carga también ocurren por encima de la frecuencia $\omega_p$; son conocidas como oscilaciones plasmónicas, o directamente como plasmones.