Conductividad térmica en un metal

La conductividad térmica $\kappa$ de un material se define como la constante de proporcionalidad (positiva) entre la densidad de corriente térmica $\bm{j}_q$ (cantidad de calor por unidad de área y de tiempo) y el gradiente de temperaturas $\nabla T$ en esa posición

$$\bm{j}_q = - \kappa\, \nabla T \;.$$

El signo $-$ evidencia que el calor fluye en sentido opuesto a $\nabla T$, y en esta descripción supondremos que este flujo se debe solo al movimiento de los electrones libres en un metal. Para fijar ideas imaginemos un caso unidimensional según la coordenada $x$, es decir $\nabla T\!=\!\bm{\hat{\imath}} \,{\rm d}T/\,{\rm d}x$. Si notamos con $\varepsilon(T)$ a la energía térmica (promedio) por electrón en una región que se encuentra a temperatura $T$, podemos explicitar la expresión anterior teniendo en cuenta que si la última colisión ocurrió en $x'$, entonces la energía térmica del electrón emergente será $\varepsilon[T(x')]$: en cada coordenada $x$ tendremos electrones provenientes de la derecha con $\varepsilon[T(x\!+\!v\tau)]$ (habiéndose dispersado por última vez en $x\!+\!v\tau$ en promedio), y de la izquierda con $\varepsilon[T(x\!-\!v\tau)]$. Teniendo en cuenta que $T\,$ varía poco en $\ell\!=\!v\tau$, la componente $x$ para la expresión anterior puede escribirse como (ejercicio)

$$j_q = \frac{n\,v}{2} \Bigl\{ \varepsilon[T(x\!-\!v\tau)] -\varepsilon[T(x\!+\!v\tau)] \Bigr\}\;,$$

o bien

$$j_q = n\,v^2\tau \frac{\,{\rm d}\varepsilon}{\,{\rm d}T} \left( -\frac{\,{\rm d}T}{\,{\rm d}x} \right) \;.$$

Al pasar a 3D, la derivada con respecto a la coordenada será una derivada parcial, y además los valores cuadráticos medios de las componentes de $\bm{v}$ serán equivalentes, es decir $\langle v_x^2\rangle\!=\!\langle v_y^2\rangle\!=\!\langle v_z^2\rangle\!=\!v^2/3$, donde $v^2$ es la velocidad cuadrática media. Por otro lado, si notamos con $c_v$ al calor específico por unidad de volumen, como $n\!=\!N/V$,

$$n \frac{\,{\rm d}\varepsilon}{\,{\rm d}T} = \frac{1}{V}\left(\frac{\,{\rm d}E}{\,{\rm d}T}\right) = c_v \;,$$

de modo que

$$\bm{j}_q = \frac{1}{3} v^2\tau\,c_v\,( -\nabla T) \qquad \Rightarrow \qquad \kappa = \frac{1}{3} v^2\tau\,c_v = \frac{1}{3} \ell\,v\,c_v \;.$$

Recordando que para corriente continua la ec. (1) permite expresar la conductividad eléctrica como $\sigma\!=\!ne^2\tau/m$, podemos prescindir del tiempo de relajación realizando el cociente

$$\frac{\kappa}{\sigma} = \frac{c_v\,m v^2}{3\,n\,e^2} \;.$$

Aquí podemos evocar dos resultados conocidos para un gas ideal, tanto para $c_v\!=\!n\,3k_B/2$ como para $mv^2/2\!=\!3k_BT/2$, obteniendo la ley de Wiedemann-Franz

$$\frac{\kappa}{\sigma\,T} = \frac{3}{2} \left(\frac{k_B}{e}\right)... ...ac{\mbox{watt}\,\Omega}{{\rm K}^2} \quad \textcolor{gris}{(\mbox{constante})}$$

Si bien el valor experimental para este cociente es $2,22\!\times\!10^{-8}\,$watt$\,\Omega/$ K$^2$, un error de cálculo en $\sigma$ llevó a Drude a obtener una notoria coincidencia con los datos medidos. Ese éxito casual dejaba varias cuestiones en suspenso: a temperatura ambiente la contribución electrónica a $c_v$ es 100 veces menor que la considerada aquí, y tampoco es cierto que los electrones del metal se comporten como un gas ideal clásico, lo que hace que $v²$ real sea 100 veces mayor que la predicha (¡y se compensan ambos factores 100!).

Vale la pena resaltar que no hemos tenido en cuenta la acumulación de cargas que surge como consecuencia del desplazamiento de los electrones frente a un gradiente de temperaturas. Este se traduce en la creación de un campo eléctrico que se opondrá al flujo de partículas originado por $\nabla T$, conocido como efecto Seebeck.