Teoría de Sommerfeld

La exagerada contribución de los electrones de conducción al calor específico en un metal (100 veces mayor que la real) está relacionada con la naturaleza de los electrones como partículas de espín 1/2: se trata de fermiones que, a bajas temperaturas, se comportan de manera muy diferente a las partículas clásicas. Sommerfeld modificó en 1928 el modelo de Drude para los electrones de conducción, teniendo en cuenta la distribución de Fermi para los estados cuánticos de estos electrones, es decir considerando un gas de fermiones libres en una caja de lado $L$ ($V\!=\!L^3$). Para este caso las soluciones estacionarias individuales son

$$\psi_{\bm{k}}(\bm{r}) = \frac{1}{\sqrt{V}} e^{i\bm{k}\cdot\bm{r}} \qquad\quad \Bigl($$   cumplen$$\qquad \int_V\!\,{\rm d}\bm{r}\,\left\vert\psi(\bm{r})\right\vert^2 = 1 \Bigr) \;,$$

a las que deben imponerse condiciones periódicas respecto de las dimensiones de la caja, es decir, los autovalores para las energías individuales son

$$\varepsilon(\bm{k}) = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \;,$$   con$$\quad \bm{k} = \frac{2\pi}{L}\left(n_x,n_y,n_z\right) \;.$$

Los valores para la energía total del sistema se obtiene sumando las energías de todos los electrones (denotadas con $i$)

$$E = \sum_{i=1}^N\frac{\hbar^2 k_i^2}{2m} \;.$$