Metales: Teoría de Drude-Sommerfeld (basado en el texto de Ashcroft)

Entre los sólidos, los metales siempre atrajeron la atención de los científicos: son excelentes conductores de calor y electricidad, son dúctiles y maleables, y pueden pulirse hasta lograr un llamativo brillo en su superficie. Uno de los primeros intentos para describir la fenomenología observada es la teoría de Drude (1900) para la conducción metálica. Tras el descubrimiento del electrón en 1897 por J.J. Thomson, Drude intentó utilizar la teoría cinética de los gases para los electrones en la banda de conducción. Para ello los imaginó como esferas rígidas moviéndose libremente en tramos rectos hasta colisionar con otros electrones o las paredes, invirtiendo un tiempo despreciable en estos choques. La carga negativa de estos electrones se compensa con la de los núcleos con $Z_a$ protones, mucho más masivos, que se consideran fijos en el material. Los $Z$ electrones de valencia de cada átomo por separado son los que conforman la banda de conducción, permaneciendo ligados a los núcleos los $Z_a\!-\!Z\,$ electrones restantes. De este modo, si el material de densidad másica $\rho\,$ ocupa un volumen $V$, los $N\,$ electrones de conducción se distribuirán en una unidad de volumen según (ejercicio)

$$n = \frac{N}{V} = 6,0223\!\times\!10^{23} \frac{Z\rho}{A} \;,$$

donde $A\,$ es la masa atómica de estos átomos (masa asociada a un mol), y hemos recordado el significado del número de Avogadro $N_A\!=\!6,0223\!\times\!10^{23}$ (moléculas por mol). A presión y temperatura normales, los valores típicos de $n\,$ en metales es de unos $10^{22}$ electrones por cm$^3$; por ejemplo, para el Cs ( $Z_a\!=\!55$) es de $0,91\!\times\!10^{22}$ electrones por cm$^3$, mientras que para Be ($Z_a\!=\!4$) es de $24,7\!\times\!10^{22}$ electrones por cm$^3$.

El volumen específico por electrón $V/N\,$ suele asociarse a una esfera de radio $r_s$ a través de la relación

$$\frac{V}{N} = \frac{1}{n} = \frac{4\pi}{3}r_s^3 \quad \Rightarrow \quad r_s = \left(\frac{3}{4\pi n}\right)^{1/3} \;.$$

Estas distancias medias características entre electrones son del orden de 1Å.