Distribución de Fermi-Dirac

Al tratarse de fermiones, en el estado fundamental los electrones no pueden ocupar el estado¹ de mínima energía individual, ya que deben satisfacer el principio de exclusión de Pauli. Entonces se van poblando los estados con $\varepsilon$ creciente, a razón de 2 por cada autoenergía individual, ya que poseen dos orientaciones posibles para su espín $s\!=\!1/2$. De este modo se cubren los autoestados de $\bm{k}$ hasta cierto valor máximo $k_F$. En el límite termodinámico los valores de $\bm{k}$ pueden tomarse como un continuo para estimar el volumen ocupado en el espacio $k\,$ por todos estos estados como $(4\pi/3)k_F^3$; considerando que en realidad los estados conforman un reticulado de espaciamiento $\Delta k_\alpha\!=\!2\pi/L\;(\alpha\!=\!x,y,z)$, el volumen (en el espacio $k$) asociado a cada autovalor de $\bm{k}$ es $8\pi^3/V$, de manera que el número $N$ de estados disponibles para los $N\!=\!nV$ electrones en el estado fundamental debe cumplir

$$N = \textcolor{gris}{\underbrace{\textcolor{black}{2}}_{2s\!+\!1}... ...rac{k_F^3}{3\pi^2}V \quad\Rightarrow\quad k_F = \left(3\pi^2n\right)^{1/3} \;.$$

Del mismo modo suele definirse el impulso de Fermi a partir de la relación $p_F\!=\!\hbar k_F$ y también la velocidad de Fermi $v_F$, que puede expresarse en términos de $r_s$ y el radio de Bohr $a_o\!=\!0,529\times10^{-8}\,$cm

$$v_F = \frac{\hbar k_F}{m} = \frac{4,2}{r_s/a_o}\times 10^8 \frac{\rm cm}{\rm s} \;.$$

Aquí conviene notar que la estimación para una velocidad media puede ser comparable a la velocidad de la luz ( $\approx c/100$), la que resulta muy diferente de la predicción clásica.

La energía de Fermi $\varepsilon_F$ en este caso coincide con la máxima energía individual ocupada en el estado fundamental, y puede escribirse en términos del volumen específico por electrón $v\!=\!1/n$ o también de $a_o$

$$\varepsilon_F = \frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{3\pi^2}{v}\right)^{2/3} = \frac{50,1}{(r_s/a_o)^2}{}^{\displaystyle\rm eV} \;.$$

Los valores típicos de $\varepsilon_F$ varían entre 1,5 eV y 15 eV. Asociando esta magnitud a una medida de la excitación térmica, se define la temperatura de Fermi a través de la relación

$$\varepsilon_F = k_B\,T_F \qquad\Rightarrow\qquad T_F = \frac{58,2\times10^4}{(r_s/a_o)^2}\,{}^{\displaystyle\rm K} \;.$$

Como los electrones de nuestro “gas” son fermiones, si $\mu$ representa el potencial químico y $\beta\!=\!1/(k_BT)$, sabemos que la distribución de Fermi-Dirac ²

$$f_i^N = \frac{1}{e^{\beta(\varepsilon_i-\mu)}+1}$$

representa la probabilidad de que un electrón esté en el estado individual $\left\vert i \right\rangle$ —traslacional más espín— cuando el sistema de $N$ electrones está en equilibrio termodinámico a temperatura $T$. Esta distribución está relacionada con el número total de electrones, pues al sumar las probabilidades sobre todas las partículas que componen nuestro sistema se cumple

$$N = \sum_{i=1}^N f_i^N = \sum_{i=1}^N \frac{1}{e^{\beta(\varepsilon_i-\mu)}+1} \;.$$ En el límite termodinámico las posibles energías individuales se vuelven continuas, y escribimos esta distribución como $$f(\epsilon) = \frac{1}{e^{\beta\,(\epsilon-\mu)}+1} \;,$$ que tiene el comportamiento mostrado en la figura. Aquí se pone en evidencia que la correcta definición para la energía de Fermi es $$\varepsilon_F = \lim_{T\to0} \mu(T) \;.$$