Gas de Fermi-Dirac (basado en los textos de Reichl y Huang) (y Schwabl)

En la sección 6.4 habíamos obtenido la función gran partición para un sistema de partículas regido por la estadística de Fermi-Dirac. En la correspondiente expresión (20), el índice $\ell$ debe señalar unívocamente el estado cuántico accesible a cada partícula: por ejemplo, para partículas de espín 1/2, este índice debe abarcar los posibles estados de impulso $\bm{p}_\ell$ y también las proyecciones `up' ($\uparrow$) o `down' ( $\downarrow$) para el espín. Para el caso de partículas libres, los autovalores individuales para el hamiltoniano no dependen de la orientación del espín $s$, por lo que deben repetirse $g_s=(2s+1)$ veces las sumatorias sobre los diferentes estados de impulso. Como esta suma solo puede abarcar dos números de ocupación posibles en cada estado (0 y 1, pues se trata de fermiones), la gran partición puede expresarse como

$$Z_\mu^{\rm FD}(T,V) = \prod_{\ell=0}^\infty \left( 1 + z e^{-\beta \epsilon_\ell} \right)^{g_s} \;.$$

Podemos entonces escribir para el gran potencial

$$\Omega_{\rm FD}(T,V,\mu) = -kTg_s \sum_{\ell=0}^\infty \; \ln \left( 1 + z e^{-\beta \epsilon_\ell} \right) \;,$$

y de aquí derivamos el número medio de partículas

$$\langle N \rangle = -\left(\frac{\partial\Omega_{\rm FD}}{\parti... ...= g_s \sum_{\ell=0}^\infty \;\frac{1}{z^{-1} e^{\beta \epsilon_\ell}+1} \;.$$

Como el número total de partículas se construye sumando las contribuciones medias de todos los niveles $\bm{p}_\ell$, obtenemos para el número medio de partículas en el estado $\ell$

$$g_s \langle n_\ell \rangle = \frac{g_s}{z^{-1} e^{\beta \epsilon_\ell}+1} \;,$$

donde hemos separado la probabilidad $\langle n_\ell \rangle$ de ocupar el estado $\ell$, debida solo al carácter estadístico de las partículas bajo estudio (en este caso fermiones). Vemos en primer lugar que siempre se cumple $g_s\langle n_\ell\rangle\le g_s$, tal

 

como exige el principio de exclusión, por lo que evidentemente no habrá condensación en el caso de fermiones. Por otro lado, es interesante analizar la población media del estado fundamental, $$\langle n_o \rangle = \frac{1}{z^{-1}+1} \;,$$ que nunca diverge, pues $z\ge0$. Vale la pena notar que la expresión para las poblaciones medias $\langle n_\ell \rangle$ nos indica que si la temperatura alcanza el cero absoluto ( $\beta=\infty$), todos los niveles se despueblan excepto aquellos para los que $\epsilon_\ell<\mu$. Cuando la temperatura es apenas superior, la distribución se aparta suavemente de la correspondiente a

 

$T=0$, como se indica en la figura. La derivada de esta distribución se anula rápidamente cuando $\epsilon_\ell$ se aleja apenas de $\mu$, como notaremos más adelante.

Al tomar el límite termodinámico los autovalores $\epsilon$ para el hamiltoniano individual de las partículas toman valores continuos, y es frecuente escribir la población estadística como

$$n(\epsilon) = \frac{1}{e^{\beta (\epsilon-\mu)}+1} \;.$$

En la expresión anterior para el gran potencial, cuando tomamos el límite termodinámico podemos reemplazar la sumatoria sobre $\ell$ por una integral en el espacio ahora continuo de $\bm{p}$ (o de $\epsilon$), obteniendo

$$\Omega_{\rm FD}(T,V,\mu) = -\frac{g_skTV}{\lambda^3} f_{5/2}(z) \;,$$

 

donde

$$f_{5/2}(z) \equiv \frac{4}{\sqrt\pi} \int_0^\infty {\rm d}x\; ... ...um_{j=1}^\infty \frac{(-1)^{j+1} z^j}{j^{5/2}}\quad \mbox{si $z<1$}\right]\;.$$

Para llegar a esta expresión integral es necesario realizar el cambio de variable $x^2=p^2/(2mkT)$, mientras que la sumatoria se obtiene al hacer un desarrollo en serie del integrando, resolviendo luego término a término.

Es interesante señalar que podemos escribir la gran partición en términos de $\beta$, $V$ y $z$ como variables independientes, en lugar de $T$, $V$ y $\mu$. De este modo, con un mínimo de inspiración el lector podrá mostrar por ejemplo la siguiente relación

$$U = -\left( \frac{\partial }{\partial\beta}\!\!{}^{\displaystyle \ln Z(\beta,V,z)} \right)_{V,z} \;,$$

teniendo la precaución de que al derivar deben permanecer constantes $V$ y $z$ (y no $\mu$). Se obtiene así

$$U = \frac32 g_s \frac{kTV}{\lambda^3} f_{5/2}(z) \;,$$

mientras que para un gas de bosones con degeneración $g'$ la energía interna resulta

$$U = \frac32 g'_s \frac{kTV}{\lambda^3} g_{5/2}(z) \;.$$

Comparando estas expresiones con $\Omega=-PV$, se ve que al igual que para la estadística de Bose-Einstein se cumple

$$U = \frac32 PV \;.$$

De manera semejante puede expresarse el número medio de partículas

$$\langle N \rangle = z \left( \frac{\partial }{\partial z}\!\! {... ...e \ln Z(\beta,V,z)} \right)_{\beta,V} = \frac{g_sV}{\lambda^3} f_{3/2}(z) \;,$$ (22)

 

donde

 

$$f_{3/2}(z) \equiv \frac{4}{\sqrt\pi} \int_0^\infty {\rm d}x\; ... ...um_{j=1}^\infty \frac{(-1)^{j+1} z^j}{j^{3/2}}\quad \mbox{si $z<1$}\right]\;.$$

 

Como la función $f_{3/2}(z)$ es creciente con $z$, de la expresión anterior para $\langle N \rangle$ puede verse que, para una dada densidad, cuando crece la temperatura debe decrecer $z$, de manera que para altas temperaturas $\mu\to-\infty$. Por otro lado, cuando la temperatura se hace muy pequeña, $z$ debe tender a $\infty$, es decir $\mu/T\to\infty$, de donde inferimos que a bajas temperaturas $\mu>0$, aunque su valor puede ser acotado, pues el denominador $T$ garantiza de todos modos la divergencia. Para estudiar el comportamiento de este sistema a bajas temperaturas debemos analizar entonces el comportamiento de $f_{3/2}(z)$ para valores de $z$ grandes. Seguiremos para ello el método de Sommerfeld, notando que estamos interesados en propiedades termodinámicas como la energía interna del sistema

 

$$U = \sum_\ell g_s \langle n_\ell \rangle \epsilon_\ell \;\to\; ... ...lon) = \int_0^\infty {\rm d}\epsilon\; g(\epsilon) \epsilon\;n(\epsilon) \;,$$ (23)

o el número medio total de partículas

$$\langle N \rangle = \sum_\ell g_s \langle n_\ell \rangle \to \int_0^\infty {\rm d}\epsilon\; g(\epsilon)\; n(\epsilon) \;.$$

Al cambiar de variables, la densidad de estados $g(\epsilon)$ representa la fracción de estados individuales diferentes que comparten ese autovalor de energía $\epsilon$. En general entonces, tenemos integrales de la forma

$$I = \int_0^\infty {\rm d}\epsilon\; f(\epsilon)\; n(\epsilon) \;.$$

El desarrollo de Sommerfeld consiste en separar esta integral en dos partes

$$I = \int_0^\mu {\rm d}\epsilon\; f(\epsilon) + \int_0^\infty ... ...\epsilon)\; \left[ \rule{0em}{1em}n(\epsilon)-\Theta(\mu-\epsilon) \right] \;,$$

donde $\Theta(x)$ es la función escalón de Heaviside. De este modo, retenemos en el primer término del miembro de la derecha el comportamiento que sobrevivirá para el límite $T\to0$. Puede extenderse la última integral hasta $-\infty$ definiendo $f(-\epsilon)=f(\epsilon)$ para $\epsilon<0$, teniendo en cuenta que $n(\epsilon)$ solo difiere apreciablemente de $\Theta(\mu-\epsilon)$ en un entorno cercano de $\epsilon=\mu$, pues para $\epsilon<0<\mu(T\!\to\!0)$, $n(\epsilon)\approx1+{\cal O}(e^{-\beta(\mu-\epsilon)})$

$$I \approx \int_0^\mu {\rm d}\epsilon\; f(\epsilon) + \int_{-\i... ...epsilon)\; \left[ \rule{0em}{1em}n(\epsilon)-\Theta(\mu-\epsilon) \right] \;.$$

Como ejercicio sencillo, se recomienda demostrar que la función $n(\epsilon)-\Theta(\mu-\epsilon)$ es impar alrededor de $\epsilon=\mu$. Podemos tomar entonces la expansión en serie de Taylor de $f(\epsilon)$ alrededor de $\mu$ y realizar el cambio de variable $x=(\epsilon-\mu)/(kT)$, notando que las potencias pares de $x$ no contribuirán a la integral

$$I = \int_0^\mu {\rm d}\epsilon\; f(\epsilon) + \int_{-\infty}^\... ...t( f'(\mu) (kT)^2 x + \frac{f'''(\mu)}{3!} (kT)^4 x^3 + \cdots \right)\;.$$

El producto del factor entre corchetes y las potencias impares de $x$ es una función par, y dado que $\Theta(-x)=0$ para $x>0$,

$$I = \int_0^\mu {\rm d}\epsilon\; f(\epsilon) + \frac{\pi^2}{6} (kT)^2 f'(\mu) + \frac{7\pi^4}{360} (kT)^4 f'''(\mu) + \cdots \;,$$ (24)

donde hemos utilizado la función $\zeta$ de Riemann, relacionada con la función $\Gamma$ mediante la identidad

$$\int_0^\infty {\rm d}u\; \frac{u^{y-1}}{e^u+1} = \left(1-2^{1-y}\right) \zeta(y) \Gamma(y) \;;$$

en particular, $\zeta(2)=\pi^2/6$ y $\zeta(4)=\pi^4/90$. La expansión de Sommerfeld (24) permite reescribir el número medio de partículas

$$\langle N \rangle = \sum_\ell g_s \langle n_\ell \rangle \;\to\... ...silon\; \sqrt{\epsilon}\; n(\epsilon) = \frac{g_sV}{\lambda^3} f_{3/2}(z) \;.$$

sustituyendo la integral en $\epsilon$, de modo que puede despejarse el comportamiento de $f_{3/2}(z)$ para valores grandes de $z$:

$$f_{3/2}(z) = \frac{4}{3\sqrt\pi} (\ln z)^{3/2} \left[ 1 + \frac{\pi^2}8 (\ln z)^{-2} + \cdots + {\cal O}\!\left((\ln z)^{-4}\right) \right]\;.$$ (25)

Entonces, para el caso de bajas temperaturas o altas densidades, es decir $\lambda^3/v\gg1$, la ecuación (22) puede aproximarse como

$$\frac1v = \frac{4}{3\sqrt\pi} (\ln z)^{3/2} \frac{g_s}{\lambda^3} \left[ 1 + \frac{\pi^2}8 (\ln z)^{-2} + \cdots \right]$$

En particular, se define como energía de Fermi

$$\mu(T=0) \equiv \epsilon_F = \frac{\hbar^2}{2m} \left(\frac{6 \pi^2}{g_s v}\right)^{2/3} \;.$$

Completamos ahora el comentario de más arriba diciendo que a $T=0$ si $\epsilon_\ell>\epsilon_F$, $n_\ell=0$, y si $\epsilon_\ell<\epsilon_F$, $n_\ell=1$.

Se define también el impulso de Fermi $p_F$ escribiendo la relación clásica $\epsilon_F=p_F^2/2m$. Más frecuentemente se utiliza la temperatura de Fermi $T_F\equiv\epsilon_F/k$, de manera que si $T\ll T_F$ se dice que el gas está “degenerado”, porque todas las partículas tienden a ocupar los estados de menor energía, según lo permitido por la degeneración $g_s$.

La expansión (25) puede “invertirse”, resultando en esta región

$$\mu \; (= kT \ln z) = \epsilon_F \left[ 1 - \frac{\pi^2}{12}\left(\frac{kT}{\epsilon_F}\right)^2 +\cdots \right] \;.$$

Podemos obtener una expresión para la energía interna de este sistema desarrolando análogamente la expansión (23), siguiendo también el método de Sommerfeld. Se deja como ejercicio verificar

$$U = \frac35 \langle N \rangle \epsilon_F \left[ 1 + \frac5{12} \pi^2\left(\frac{kT}{\epsilon_F}\right)^2 + \cdots \right] \;.$$

El primer término corresponde a la energía del estado fundamental, y puede verificarse fácilmente que

$$\sum_{\vert\mbox{\footnotesize\boldmath$p$}\vert<p_F} \frac{p^2}{2m} = \frac35 \langle N \rangle \epsilon_F\;.$$

Con estos elementos puede calcularse el calor específico

$$c_v \approx \frac{\pi^2}2 \frac{k^2}{\epsilon_F} T \;.$$

Aquí se pone en evidencia que se cumple la tercera ley de la termodinámica, ya que este calor específico tiende a cero en el límite de bajas temperaturas.

A partir de la igualdad $U=(3/2)PV$ puede escribirse

$$P \approx \frac25 \frac{\epsilon_F}v \left[ 1 + \frac{5\pi^2}{12} \left(\frac{kT}{\epsilon_F}\right)^2 + \cdots \right]\;.$$

Podemos ver que a $T=0$, $P\neq0$, como consecuencia del principio de exclusión, pues no todas las partículas pueden tener el mínimo valor de impulso.

Analicemos a continuación el régimen de temperaturas altas o bajas densidades, es decir, $\lambda^3/v\ll1$, donde esperamos que los efectos cuánticos se “disimulen”. Recordando que en este caso $z$ toma valores muy próximos a 0, aproximamos

$$\frac{\lambda^3}{g_sv} = f_{3/2}(z) = z - \frac{z^2}{2^{3/2}} + \cdots$$

Como antes, “invirtiendo” esta serie tenemos

$$z = \frac{\lambda^3}{g_sv} + \frac{1}{2^{3/2}} \left(\frac{\lambda^3}{g_sv}\right)^2 + \cdots$$

En los casos en que $\lambda^3/(g_sv)$ es extremadamente pequeño, podemos quedarnos solo con el primer término, coincidiendo nuestro resultado con el correspondiente al gas de Maxwell-Boltzmann. Por otro lado, puede verificarse que las poblaciones de los distintos niveles también coinciden con el caso de Maxwell-Boltzmann. Finalmente, la ecuación de estado

$$\frac{Pv}{kT} = \frac{4\pi g_s v}{h^3} \int_0^\infty {\rm d}p\; p^2 \ln \left( 1 + z e^{-\textstyle\frac{\beta p^2}{2m}}\right)$$

puede aproximarse como

$$\frac{Pv}{kT} = \frac{g_sv}{\lambda^3} \left( z - \frac{z^2}{2^{5/2}} + \cdots \right) = 1 + \frac{1}{2^{5/2}} \frac{\lambda^3}{g_sv} + \cdots$$

Nuevamente, el resultado coincide con el de Maxwell-Boltzmann en la situación límite.