Ferromagnetismo: Modelo de Ising

Uno de los fenómenos más interesantes en física del estado sólido es el ferromagnetismo: en algunos metales como el hierro o el níquel, una fracción finita de los espines asociados con cada núcleo se polariza espontáneamente en determinada dirección, generando un momento magnético macroscópico en ausencia de campo externo. Esto ocurre solo a bajas temperaturas; a temperaturas elevadas los espines se orientan al azar, produciendo una magnetización resultante nula.

Para intentar una descripción, supongamos que cada uno de los $N$ puntos de la red cristalina aloja un átomo al que asociamos un espín 1/2 y momento magnético $\mu_B\,$ (magnetón de Bohr en unidades de $\hbar$). Bajo la acción de una inducción magnética externa $\bm{B}$, el hamiltoniano del sistema (incluyendo la interacción) es

$$\hat H = - \sum_{\langle ij\rangle} J_{ij}\;\hat{\bm{\sigma}}_i\... ...\hat{\bm{\sigma}}_j - \mu_B\,\bm{B}\cdot \sum_{i=1}^N \hat{\bm{\sigma}}_i \;,$$

donde $\hat{\bm{\sigma}} = (\hat\sigma^x, \hat\sigma^y, \hat\sigma^z)\,$ son las matrices de Pauli y $J_{ij}$, denominada “integral de intercambio”, depende de la distancia entre los núcleos $i$-$j$: en nuestra descripción consideraremos que es distinta de cero para los núcleos más cercanos en la red, motivo por el cual la primera sumatoria barre solamente los pares $\langle ij\rangle\,$ de primeros vecinos. Cuando $J_{ij}>0\,$ se dice que el sistema es ferromagnético, mientras que si $J_{ij}<0\,$ el sistema es antiferromagnético.

El hamiltoniano de la expresión anterior se conoce como modelo de Heisenberg o isotrópico. Cuando la respuesta del sistema es relevante solo en una orientación ( $\bm{B}=B\hat{k}$), la expresión anterior se transforma en el modelo de Ising o anisotrópico al considerar $J_{ij}=J\,$ (pues solo se incluyen las interacciones entre primeros vecinos):

$$\hat H = - J \sum_{\langle ij\rangle} {\hat\sigma^z}_i\,{\hat\sigma^z}_j - \mu_B\,B \sum_{i=1}^N {\hat\sigma^z}_i \;.$$

En adelante obviaremos el supraíndice $z$, sobreentendiendo que $\hat\sigma\,$ representa el operador $\hat\sigma^z$. Si bien originalmente el modelo de Ising se desarrolló para analizar el ferromagnetismo, se lo puede adaptar fácilmente para describir otros cambios de fase. Así es que han surgido aplicaciones para estudiar transiciones orden-desorden (aleaciones), vidrios de espín, el llamado gas de red, y recientemente se lo ha utilizado también en redes neuronales.