Efecto de Haas - Van Alphen

Analicemos ahora el comportamiento para temperaturas bajas. Como sabemos, los electrones `intentan' ocupar los estados de energía más baja, aunque también sabemos que a medida que se reduce el valor de $B$, correspondientemente caben menos en el estado fundamental, porque la degeneración $g$ disminuye linealmente con $B$. Esto trae como consecuencia oscilaciones en la magnetización, fenómeno que se conoce como efecto de Haas - Van Alphen, a partir de los resultados de un famoso experimento realizado por estos investigadores en 1930, en una muestra de bismuto a 14,2 K entre 0,5 y 2 Tesla.

Al interesarnos en el caso $kT\ll\hbar\omega_o$, tomamos directamente $T=0$ en las expresiones anteriores, e ignoramos el movimiento en la dirección $z$, pues no aporta a la susceptibilidad magnética.

Definiendo $\mu_o\equiv e\hbar/(2mc)$, los niveles de Landau pueden escribirse como $\epsilon_j=2\mu_o B(j+1/2)$, y en términos de $B_o\equiv nhc/e$, donde $n=N/L^2\,$ es el número de partículas por unidad de área, su degeneración es $g=NB/B_o$. La magnitud $B_o\,$ representa el valor mínimo para que todos los electrones quepan en cada uno de los niveles de Landau. A $T=0$, cuando $B>B_o\,$ todos los electrones se acomodan en el nivel fundamental $j=0$; en ese caso, la energía por partícula será $E_o/N=\mu_o B$. Si en cambio $B<B_o$, algunas partículas deben ocupar niveles más altos: la condición para que los primeros $j+1\,$ niveles de Landau (del 0 al $j$) estén ocupados completamente, el $(j+1)\,$ parcialmente lleno y los otros vacíos es

$$(j+1) g < N < (j+2) g \;,$$

o bien

$$(j+1)\,N\,\frac{B}{B_o} < N < (j+2)\,N\,\frac{B}{B_o} \qquad\Rightarrow \qquad \frac1{j+2} < \frac{B}{B_o} < \frac1{j+1} \;.$$

Cuando el valor de $B$ yaga en ese intervalo la energía fundamental por partícula será

$$\frac{E_o}N = \frac{g}{N} \sum_{k=0}^j\epsilon_k + \left[1-\frac... ...psilon_{j+1} = \mu_o\,B\, \left[ 2j+3 - (j+1)(j+2)\,\frac{B}{B_o} \right] \;,$$

es decir,

$$\frac{E_o}{N}(B) = \left\{ \begin{array}{lcl} \mu_o\,B_o\,x &&... ...quad \frac1{j+2} < x < \frac1{j+1} \quad (j=0,1,2,\dots) \end{array} \right.$$

Puede obtenerse (¿cómo y por qué?) a partir de estas expresiones

$$M = \left\{ \begin{array}{lcl} -\mu_o\,n && {\rm si}\quad x>1 \\... ...\displaystyle {\rm si}\quad \frac1{j+2} < x < \frac1{j+1} \end{array} \right.$$

y

$$\chi = \left\{ \begin{array}{lcl} 0 && {\rm si}\quad x>1 \\ &&... ... {\rm si}\quad \frac1{j+2} < x < \frac1{j+1}\hspace{5em}~ \end{array} \right.$$