Niveles de Landau

En un campo magnético externo asociado a un potencial vector $\bm{A}$, el hamiltoniano no relativista correspondiente a un electrón “libre” es

$$\hat H_1 = \frac 1{2m} \left( \bm{p}+\frac{e}{c}\,\bm{A} \right)^2 \;.$$

La ecuación de Schrödinger independiente de $t$ es invariante ante transformaciones de gauge

$$\bm{A}(\bm{r}) \longrightarrow \bm{A}(\bm{r})-\nabla\omega(\bm{r}) \;,$$

$$\psi(\bm{r}) \longrightarrow e^{-{\textstyle\frac{ie}{\hbar c}} \omega(\mbox{\footnotesize {\boldmath$r$}})}\psi(\bm{r}) \;,$$

donde $\omega(\bm{r})$ es cualquier función continua. Si $\bm{B}=B\hat k$, podemos elegir $A_x=-By ;\; A_y=A_z=0$, con lo cual obtenemos

$$\hat H_1 = \frac 1{2m} \left[ \left(p_x-\frac{eB}{c}\,y\right)^2 + {p_y}^2 + {p_z}^2 \right] \;.$$

Proponiendo $\psi(x,y,z)=\displaystyle e^{i(k_x x+k_z z)} f(y)$, donde $k_\alpha$ es el autovalor respectivo para $p_\alpha$, la ecuación de Schrödinger estacionaria correspondiente al autovalor de energía $\epsilon$ implica

$$\left[\frac1{2m} {p_y}^2 + \frac12 m {\omega_o}^2 (y-y_o)^2\right] f(y) = \epsilon'\; f(y) \;,$$

donde $\omega_o\equiv eB/(mc)$ es la frecuencia ciclotrónica correspondiente a las órbitas circulares clásicas de una masa $m$ con carga $e$ bajo un campo $B$ uniforme, $y_o\equiv\hbar c/(eB) k_x$ y $\epsilon'\equiv\epsilon-\hbar^2{k_z}^2/(2m)$. La anterior ecuación para $f(y)$ no es otra que la entrañable ecuación de un oscilador armónico, de manera que los autovalores de $\hat H_1$ son los niveles de Landau

$$\epsilon = \frac{{p_z}^2}{2m} + \hbar\omega_o\left(j+\frac12\right) \;,$$

donde $j=0,1,2,\dots$ y $p_z\equiv\hbar k_z$ son los autovalores de partícula libre según la dirección $z$.

Notemos que los niveles de Landau son independientes de $k_x$, lo que significa que habrá una degeneración para ellos igual al número de valores de $k_x$ permitidos en cada caso, de manera que el valor de $y_o$ no escape del volumen que contiene a los electrones. Suponiendo que se trata de un material cúbico de lado $L$, e imponiendo condiciones periódicas a $\psi$, los valores permitidos para $k_x$ resultan $2\pi n_x/L$, donde $n_x$ es un número natural. En ese caso,

$$y_o = \frac{\hbar c}{eB} \frac{2\pi}{L} n_x \;,$$

de modo que la condición $y_o\le L$ implica $n_x\le eB/(hc) L^2$, o equivalentemente, la correspondiente degeneración será

$$g = \frac{eB}{hc} L^2 \;.$$

Vemos entonces que cuando aparece un campo externo $B\neq0$, las energías asociadas con el movimiento en el plano $x$-$y$ dejan de ser continuas para tomar los valores discretos que hemos encontrado aquí.

Para obtener la función gran partición debemos desarrollar adecuadamente la expresión

$$Z_\mu = \prod_\ell \left(1 + z e^{-\beta \epsilon_\ell} \right)^g \;,$$

donde aquí los estados posibles son señalados por los números cuánticos $\ell=(p_z,j)$ o $\ell'=(p_z,j,\alpha)$ en nuestra notación previa, representando los valores posibles para $k_x$ con el índice $\alpha=1,2,\dots,g$. Tenemos entonces

$$\ln Z_\mu = \sum_{\alpha=1}^g \sum_{j=0}^\infty \sum_{p_z}\; \ln \left[ 1 + z e^{-\beta \epsilon(p_z,j)} \right] \;.$$

Como $\epsilon(p_z,j)$ no depende de $\alpha$, sumar sobre este índice simplemente implica repetir $g$ veces el resto de la expresión. En el límite termodinámico, los autovalores de $p_z$ pasan a ser continuos, de modo que la suma se transforma en integral mediante el procedimiento habitual

$$\ln Z_\mu = \frac{2gL}h \sum_{j=0}^\infty \int_0^\infty {\rm d}p\; \ln \left[ 1 + z e^{-\beta \epsilon(p,j)} \right] \;,$$

donde hemos reducido el intervalo de integración sobre $p$ a partir de la paridad del integrando. El número medio de partículas resulta entonces

$$\langle N \rangle = z \frac{\partial }{\partial z}\! {}^{\displa... ...infty \int_0^\infty {\rm d}p\; \frac{1}{z^{-1} e^{\beta\epsilon(p,j)}+1} \;.$$ (26)

Para temperaturas altas, $z$ se aproxima a cero, de modo que el valor de $\langle N \rangle$ no diverja. Utilizando entonces el hecho de que $z$ es pequeño, podemos aproximar

$$\ln Z_\mu \simeq \frac{2gzL}h \sum_{j=0}^\infty \int_0^\infty {... ...e\frac{p²}{2m}} + \hbar\omega_o\left(j+{\textstyle\frac12}\right)\right]} \;.$$

Ahora la integración y la suma se resuelven independientemente, y definiendo $x\equiv\hbar\omega_o/(2kT)$ obtenemos

$$\ln Z_\mu = \frac{gzL}{\lambda} \frac{e^{-x}}{1-e^{-2x}} \;.$$

Como $x$ es pequeño para temperaturas altas, podemos desarrollar en serie de Taylor, teniendo el cuidado de agrupar pertinentemente los términos del mismo orden. Así obtenemos

$$\ln Z_\mu \simeq \frac{gzL}{\lambda} \frac1{2x}\left(1-\frac{x^2... ...da³} \left[ 1 - \frac1{24}\left(\frac{\hbar\omega_o}{kT}\right)^2 \right] \;,$$

de donde puede obtenerse una estimación para la susceptibilidad

$$\chi = - \frac{z}{3kT\lambda³}\left(\frac{e\hbar}{2mc}\right)^2 \;.$$

La primera gran sorpresa es que este tratamiento cuántico nos ha permitido obtener una respuesta magnética no nula. Pero además, el hecho de que $\chi$ sea negativo implica que estamos dando cuenta de un comportamiento diamagnético del material en cuestión, lo que nos mantendrá por un tiempo en un éxtasis irrefrenable.

Para $z$ pequeños la ecuación (26) provee una expresión que coincide con $\ln Z_\mu$, de manera que podemos aproximar $\langle N \rangle/V \simeq z/\lambda³$. Reemplazando $z$ en la expresión para $\chi$ obtenemos

$$\chi = - \frac{1}{3kTv}\left(\frac{e\hbar}{2mc}\right)^2 \;,$$

que en particular satisface la ley de Curie ( $\chi\propto1/T$).