Modelo de Weiss

En dos dimensiones, el modelo de Ising también puede resolverse analíticamente, lográndose encontrar respuesta ferromagnética bajo campos externos. Sin embargo, el desarrollo se torna excesivamente complicado para sistemas tridimensionales, recurriéndose a métodos aproximados. El que veremos aquí se conoce como método de Weiss o modelo de campo molecular.

En esta descripción se reemplaza la interacción con los $\gamma\,$ primeros vecinos de la red por un promedio, de modo que el hamiltoniano resulta

$$\hat H_W = - \frac{J\gamma}2 \sum_{i=1}^N {\hat\sigma}_i\,\langle\sigma\rangle - \mu_B\,B\,\sum_{i=1}^N {\hat\sigma}_i \;.$$

El denominador 2 del primer miembro se introduce para evitar contar dos veces la interacción correspondiente a cada par $\langle ij\rangle$. Vemos entonces que el efecto de los primeros vecinos se traduce como la producción de un campo efectivo $J\gamma\langle\sigma\rangle/(2\mu_B)$. En esta aproximación de campo medio puede entonces escribirse

$$\hat H_W = \sum_{i=1}^N {\hat H}_i \;,$$   con$$\qquad {\hat H}_i = - \left( \frac{J\gamma\langle\sigma\rangle}2 + \mu_B\,B \right) {\hat\sigma}_i \;,$$

es decir, como un sistema de espines no interactuantes. Al ser independientes los espines, sabemos que la función partición del sistema total $Z_N$ se evalúa a partir de la partición correspondiente a cada espín $Z_1$, pues $Z_N=Z_1^N$. En nuestro caso conocemos el resultado

$$Z_1 = 2 \cosh \left[ \beta \left( \frac{J\gamma\langle\sigma\rangle}2 + \mu_B\,B \right)\right]$$

y, a partir de los autovalores $H_1\,$ del hamiltoniano para cada espín,

$$\langle\sigma\rangle = \langle\sigma_i\rangle = \frac1{Z_1} \sum_{\sigma=\pm1} \sigma e^{-\beta H_1} =$$    tgh$$\left[ \beta \left( \frac{J\gamma\langle\sigma\rangle}2 + \mu_B\,B \right)\right] \;.$$

Esta ecuación trascendente puede tener solución no nula para $B=0$, como puede verificarse gráficamente. También se deja como ejercicio comprobar que existe una temperatura crítica por encima de la cual las soluciones no triviales no existen, cuyo valor es $T_c=J\gamma/(2k)$.

Por supuesto como esta descripción del fenómeno del ferromagnetismo no depende de la dimensión de nuestro problema, resulta inadecuada para un sistema unidimensional.

De la “ecuación de Curie-Weiss” correspondiente a $B=0$

$$\langle\sigma\rangle =$$    tgh$$\left( \frac{J\gamma}{2kT} \langle\sigma\rangle \right)$$

podemos hallar (numéricamente) el comportamiento del momento magnético por núcleo $m\equiv\mu_B\langle\sigma\rangle\,$ en función de la temperatura. Pueden encontrarse las aproximaciones asintóticas para $T$ bajas

$$m/\mu_B \simeq 1 - 2 e^{-\textstyle\frac{J\gamma m}{\mu_B kT}}$$

y para $T\to T_c\,$ (por debajo)

$$m/\mu_B \simeq \sqrt{3\left(1-\frac{T}{T_c}\right)} \;.$$

De este modo pueden analizarse todos los exponentes críticos, relacionados con los comportamientos de los diferentes parámetros cerca del punto crítico.