Red unidimensional monoatómica

Describamos una red de Bravais unidimensional con parámetro $a$, de manera que los sitios de red pueden expresarse como $\bm{R}=na\bm{\hat{\bm{x}}}$, con $n\in\mathbb{Z}$. Si solo hay interacción entre primeros vecinos, el potencial armónico se escribe

$$U = \frac{1}{2} K \sum_n \left[ u\big(na\big)-u\big((n+1)a\big) \right]^2 \;,$$

donde $K\equiv\phi''(a)$, y $\phi(x)$ representa la interacción entre dos iones separados una distancia $x$. Si los núcleos (todos idénticos) tienen masa $M$, las ecuaciones de movimiento resultan

$$M\,\ddot{u}(na) = - \frac{\partial U}{\partial u(na)\!\!} = - K \left[ 2 u\big(na\big) - u\big((n-1)a\big) - u\big((n+1)a\big) \right] \;.$$ (28)

Para encontrar los modos normales proponemos soluciones

$$u\big(na,t\big) \propto e^{i(kna-\omega t)} \;,$$

que respeten la condición periódica en la cadena de $N$ iones

$$u\big((n+N)a\big) = u\big(na\big) \;,$$

que equivale a pensar en una cadena circular en lugar de una lineal. Al imponer esta restricción sobre las soluciones propuestas encontramos los valores posibles para $k$

$$e^{ikNa} = 1 \qquad\Rightarrow\qquad k = \frac{2\pi}{a} \frac{m}{N} \qquad (m\in\mathbb{Z}) \;.$$

Es interesante notar que solo hay $N$ valores relevantes de $k$: si a un determinado $m$ sumamos $N$, los desplazamientos de cada sitio permanecen inalterados, ya que

$$e^{i\big({\textstyle\frac{2\pi}{a}\frac{m+N}{N}}na-\omega t\big)}... ...= e^{i\big({\textstyle\frac{2\pi}{a}\frac{m}{N}}na-\omega t\big)} \cdot 1 \;.$$

Esto es equivalente a afirmar que si a un determinado $k$ le sumamos $2\pi/a$ repetimos la descripción para los desplazamientos: análogamente a lo que elegíamos en el caso de los momentos cristalinos para las ondas de Bloch, elegimos $k$ en el intervalo $[-\pi/a,\pi/a]$.

Sustituyendo las soluciones $u\big(na,t\big)$ propuestas en las ecuaciones de movimiento (28),

$$-\omega^2 M = -K \left[ 2-e^{-ika}-e^{+ika} \right] = - 2K \big[1-\cos(ka)\big]$$

$$\Rightarrow \qquad \omega(k) = \sqrt{\frac{2K}{M}\big[1-\cos(ka)\big]} = 2\sqrt{\frac{K}{M}}\,\left\vert\operatorname{sen}\frac{ka}{2}\right\vert \rule{0em}{2em} \;.$$

Los desplazamientos entonces resultan

$$u\big(na,t\big) \propto \left\{ \begin{array}{c} \cos(kna-\omega t) \\ \operatorname{sen}(kna-\omega t) \rule{0em}{1.5em} \end{array} \right.$$

es decir, dos soluciones para cada $k$, como esperábamos, ya que la ecuación diferencial es de segundo orden. Como tenemos $N$ valores posibles para $k$, habrá un total de $2N$ posibles soluciones, que se superpondrán para conformar la solución global y la contribución individual dependerá de las condiciones iniciales del problema. Cada una de las soluciones individuales representa una onda que se propaga con velocidad $c\!=\!\omega/k$, de manera que la velocidad de grupo de la solución global (superposición de las individuales) será $v\!=\!\partial\omega/\partial k$.

Observamos que para $k\ll\pi/a$, es decir longitudes de onda $\lambda$ mucho mayores que el parámetro de red, vale la aproximación $$\omega = a\sqrt{\frac{K}{M}}\, \vert k\vert \;,$$ que corresponde a una relación de dispersión lineal. En este caso la velocidad de grupo $v$ coincide con $c\!=\!\omega/k$, y resulta independiente de $k$. Pero en medios discretos, cuando $\lambda$ se hace comparable con $a$, la relación deja de ser lineal. En particular cuando $k\to\pi/a$, $v\to0$. Cuando hay interacción más allá de los primeros vecinos, el planteo no cambia demasiado, aunque el re-

 

 

sultado para la relación de dispersión se complica, como vemos en uno de los problemas de los prácticos.