Cristal armónico clásico

Consideramos que las posiciones de equilibrio de los $N$ iones son sitios $\bm{R}$ de una red de Bravais, desde las cuales observamos desplazamientos pequeños $\bm{u}(\bm{R})$. Para llevar a cabo una descripción clásica necesitamos una expresión para el hamiltoniano total correspondiente a estos osciladores. La energía potencial cuando los núcleos están en sus posiciones de equilibrio puede escribirse en términos del potencial de interacción $\phi$ entre los iones

$$U_o = \frac{1}{2} \sum_{\bm{R},\bm{R'}} \phi(\bm{R}-\bm{R'}) = \frac{N}{2} \sum_{\bm{R}} \phi(\bm{R})$$

(las sumas deben barrer todos los sitios $\bm{R}$ o $\bm{R'}$ de la red). En una configuración arbitraria cada ion se ubica en una posición $\bm{R}+\bm{u}(\bm{R})$; como pensamos desplazamientos $\bm{u}(\bm{R})$ pequeños, podemos desarrollar el potencial en serie de Taylor alrededor del equilibrio

$$U = {\color{gray} U_o + \frac{1}{2} \sum_{\bm{R},\bm{R'}} \left[... ...\mu\nu}(\bm{R}\!-\!\bm{R'}) \left[u_\nu(\bm{R})\!-\!u_\nu(\bm{R'})\right] \;,$$

donde $\phi_{\mu\nu}(\bm{R})\equiv\partial^2\phi/\partial R_\mu\partial R_\nu\,$. El primer término de la derecha es una constante, y por lo tanto, irrelevante para analizar la dinámica del sistema, por lo cual tomamos $U_o\!=\!0$ como el cero de las energías. Por otro lado, el segundo término de la derecha se anula, pues $\nabla\phi$ está evaluado en las posiciones de equilibrio, donde $\phi$ tiene un mínimo. Esta expansión que tiene en cuenta solo hasta el segundo orden se denomina ingeniosamente “aproximación armónica”.

Es importante señalar que al buscar la solución para este problema es necesario imponer condiciones de contorno: como siempre, esperamos que la descripción física se repita luego de desplazarnos $N_\mu$ celdas en las direcciones $\mu$ según los vectores primitivos $\{\bm{a}_\mu\}$. Estas condiciones de contorno periódicas son similares a las condiciones de Born - von Karman.

Definiendo

$$\mathscr{D}_{\mu\nu}(\bm{R}\!-\!\bm{R'}) = \delta_{\bm{R},\bm{R'}... ...}''} \phi_{\mu\nu}(\bm{R}\!-\!\bm{R}'') - \phi_{\mu\nu}(\bm{R}\!-\!\bm{R'}) \;,$$ (27)

se deja como ejercicio mostrar que es posible escribir el potencial armónico como

$$U = \frac{1}{2} \sum_{\substack{\bm{R},\bm{R'}\\ \mu,\nu~\rule{0e... ... u_\mu(\bm{R})\, \mathscr{D}_{\mu\nu}(\bm{R}\!-\!\bm{R'})\, u_\nu(\bm{R'}) \;.$$

Esta expresión resultará muy conveniente al analizar cristales tridimensionales.