Red unidimensional con base

Supongamos ahora que contamos con dos iones iguales (de masa $M$) por celda primitiva, unos en los sitios $na$ y los otros, en $na+d$, con $d<a/2$. Nuevamente planteamos interacciones solo entre primeros vecinos, con dos tipos de fuerzas relacionadas con las diferentes separaciones que proponemos. Llamamos $u_1(na)$ a los desplazamientos de los primeros iones desde sus posiciones de equilibrio en $na$; del mismo modo, $u_2(na)$ representa los desplazamientos de los otros iones desde $na+d$. Entonces podemos escribir

$$U = \frac{K}{2} \sum_n \left[ u_1\big(na\big)-u_2\big(na\big) \ri... ...+ \frac{G}{2} \sum_n \left[ u_2\big(na\big)-u_1\big((n+1)a\big) \right]^2 \;,$$

de donde las ecuaciones de movimiento resultan

$$\left\{ \begin{array}{l} M\,\ddot{u}_1(na) = - \displaystyle \fr... ... \left[ u_2\big(na\big) - u_1\big((n+1)a\big) \right] \;. \end{array} \right.$$

Nuevamente proponemos soluciones oscilatorias, permitiendo la opción de dos amplitudes (complejas) $\epsilon_1$ y $\epsilon_2$ diferentes

$$u_1\big(na,t\big) = \epsilon_1 e^{i(kna-\omega t)} \quad,\qquad\qquad u_2\big(na,t\big) = \epsilon_2 e^{i(kna-\omega t)} \;.$$

Sustituyendo en las ecuaciones movimiento,

$$\left\{ \begin{array}{rcr} \left[M\omega^2-(K+G)\right] \epsilon... ...ft[M\omega^2-(K+G)\right] \epsilon_2 = 0 \rule{0em}{2em} \end{array} \right.$$

Para tener soluciones $\left(\epsilon_1,\epsilon_2\right)$ no triviales debe anularse el determinante del sistema de ecuaciones, es decir

$$\left[M\omega^2-(K+G)\right]^2 = \left\vert K+Ge^{-ika}\right\vert^2 = K^2+G^2+2KG\cos(ka)$$

$$\Longrightarrow\qquad \omega^2 = \frac{K+G}{M} \pm \rule{0em}{1.5em} \frac{1}{M}\sqrt{K^2+G^2+2KG\cos(ka)} \;.$$

Reemplazando en las ecuaciones anteriores vemos que $$\frac{\epsilon_2}{\epsilon_1} = \mp \frac{K+Ge^{ika}}{\left\vert ... ...big( \left\vert\epsilon_2\right\vert=\left\vert\epsilon_1\right\vert \big) \;.$$ En este caso hay 2 soluciones para cada $k$, es decir $2N$ modos normales: la relación de dispersión tiene 2 ramas. El comportamiento cualitativo de la rama inferior es similar al de la red monoatómica: en particular para $ka\ll\pi$ se cumple $\omega\!=\!ck$, como sucede con las ondas de sonido, por lo cual se la llama rama acústica. La rama superior se denomina rama óptica porque, como

 

veremos en seguida, se asocia a la respuesta de los cristales a la radiación electromagnética. La figura muestra las curvas para el caso en que $K>G$.

Analicemos el comportamiento de ambas ramas para $ka\ll\pi$, cuando podemos aproximar

$$\cos(ka) \approx 1 - \frac{(ka)^2}{2} \;, \qquad \epsilon_2=\mp\epsilon_1 \;,$$

donde el signo $-$ vale para la rama óptica y el $+$ para la rama acústica: esto significa que en este rango, los modos acústicos activan oscilaciones en fase en los átomos de cada celda, mientras que las asociadas con los modos ópticos se dan en oposición de fase. Justamente por este motivo se denomina rama óptica, porque en el caso de cristales iónicos, la radiación electromagnética induce desplazamientos opuestos en iones de signo contrario. En este límite entonces

$$\omega_O = \sqrt{\frac{2(K+G)}{M}} - {\cal O}(ka)^2 \;,\qquad\qquad \omega_A = \sqrt{\frac{KG}{2M(K+G)}} (ka) \;.$$

Vemos que también en este caso, para la rama acústica la velocidad de grupo es $\omega/k$, al igual que en las ondas acústicas.

Para $ka=\pi$, los modos ópticos resultan

$$\omega_O = \sqrt{\frac{2K}{M}} \;,$$   con$$\quad \epsilon_2 = -\epsilon_1 \;,$$

es decir los iones oscilan en oposición de fase (y con la misma amplitud). Análogamente, para la rama acústica tenemos

$$\omega_A = \sqrt{\frac{2G}{M}} \;,$$   con$$\quad \epsilon_2 = \epsilon_1 \;,$$

de modo que las celdas oscilan como un todo: ambos iones en fase y siempre con idéntica amplitud (como si el resorte de constante $K$ no se elongara).

Si una de las interacciones es mucho más intensa que la otra, es decir si $K\gg G$, obtenemos las aproximaciones

$$(K\gg G) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \omega_O ... ...] \;, \qquad \epsilon_1\approx\epsilon_2 \rule{0em}{2em} \end{array} \right.$$

En este caso $\omega_O$ es casi independiente de $k$, y se deja como ejercicio mostrar que los desplazamientos se dan como si cada celda contuviera una molécula aislada, con las dos masas unidas por el resorte oscilando siempre en oposición de fase. La rama acústica en cambio se corresponde con una cadena lineal de masa $2M$, ya que se mueven en fase y siempre con igual amplitud (otro ejercicio).

Finalmente, cuando los valores de $K$ y $G$ se hacen cada vez más parecidos, los resultados convergen a la descripción de una red monoatómica simple con parámetro de red $a/2$, cuya verificación también se deja como ejercicio.