Conexión con la teoría de la elasticidad (con agregados del texto de Economou)

La teoría clásica de la elasticidad ignora la estructura microscópica de un sólido y lo describe como un medio continuo. Cualquier fragmento pequeño de sólido puede desplazarse un cierto $\bm{u}(\bm{r})$ en las vecindades de su posición original $\bm{r}$ de equilibrio. La hipótesis básica de esta teoría es que la densidad de energía se modifica solo por estos desplazamientos, más precisamente por sus primeras derivadas. Si estas deformaciones ocurren lentamente y acompañan distorsiones integrales en cada celda primitiva ( $\bm{u}(\bm{r})$ señala los apartamientos de la celda como un todo), es posible conectar la teoría clásica de la elasticidad con la descripción de las vibraciones de la red que dimos más arriba. Por simplicidad, restringimos entonces nuestra descripción a una red monoatómica.

Las propiedades de simetría de $\cal D$ descriptas en la sección anterior nos permiten dar una expresión alternativa para el potencial armónico

$$U = \frac{1}{4} \sum_{\bm{R},\bm{R'}} \left[\bm{u}(\bm{R'})\!-\... ... D}(\bm{R}\!-\!\bm{R'})\, \left[\bm{u}(\bm{R'})\!-\!\bm{u}(\bm{R})\right] \;.$$

Para compatibilizar los fenómenos descriptos, imaginamos que $\bm{u}(\bm{r})$ es una función continua de $\bm{r}$, que coincide con la $\bm{u}(\bm{R})$ de interés cuando $\bm{r}$ se ubica en el sitio de red $\bm{R}$. En el caso de que la perturbación varíe lentamente al abarcar varios sitios de red, en primer orden podemos aproximar

$$\bm{u}(\bm{R'}) = \bm{u}(\bm{R}) + (\bm{R'}\!-\!\bm{R}) \cdot \Big.\nabla\bm{u}(\bm{r})\Big\vert _{\bm{r}=\bm{R}} \;,$$

de manera que

$$U = \frac{v}{2} \sum_{\bm{R}\mu\nu\alpha\beta} \frac{\partial u_... ...le{-1.3em}{0em}}{\partial x_\beta}\rule{1.3em}{0em} E_{\alpha\mu\nu\beta} \;,$$

donde hemos definido el tensor $E_{\alpha\mu\nu\beta}$ de rango 4 como

$$E_{\alpha\mu\nu\beta} = -\frac{1}{2v} \sum_{\bm{R}} R_\alpha\mathscr{D}_{\mu\nu}(\bm{R})R_\beta \;.$$

Como $\bm{u}(\bm{r})$ varía lentamente, la expresión anterior para $U$ puede expresarse como una integral

$$U = \frac{1}{2} \sum_{\alpha\beta\mu\nu} \int_V \,{\rm d}^3r\; \... ...le{-1.3em}{0em}}{\partial x_\beta}\rule{1.3em}{0em} E_{\alpha\mu\beta\nu} \;.$$

Estas expresiones aparentemente muy complicadas pueden simplificarse bastante: lo más inmediato es el hecho de que al intercambiar los índices $\mu$ con $\nu$, $E_{\alpha\mu\beta\nu}$ no cambia; lo mismo ocurre al intercambiar $\alpha$ con $\beta$. Además, como la energía del cristal no puede cambiar al realizar una rotación infinitesimal de un ángulo $\bm{\delta\omega}=\delta\omega\,\bm{\hat{n}}$ alrededor de una dirección arbitraria $\bm{\hat{n}}$, mediante la cual cada vector $\bm{R}$ se traslada según $\delta\bm{u}(\bm{R})=\bm{\delta\omega}\times\bm{R}$, es directo mostrar que $U$ debe depender de las derivadas $\partial u_\mu(\bm{r})/\partial x_\alpha$ solo en la forma simétrica

$$\epsilon_{\alpha\mu} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_\mu}{\partial x_\alpha} + \frac{\partial u_\alpha}{\partial x_\mu} \right) \;.$$

$\epsilon_{\alpha\mu}$ es conocido como tensor de deformaciones (strain tensor).

En lo relativo a la elasticidad de un material, para nosotros es familiar la ley de Hooke, o la compresibilidad medida a través del módulo de Young $Y$. Podemos hacer una conexión sencilla pensando en una varilla de longitud $\ell$ y corte transversal cuadrado de lado $a$ (área $a^2$) que se deforma longitudinalmente $\delta\ell$ por acción de una fuerza $F$. La relación entre esta fuerza y la deformación longitudinal es por definición

$$\frac{F}{a^2} = Y \frac{\delta\ell}{\ell} \;.$$

A esta deformación se agrega una compresión transversal asociada

$$\frac{\delta a}{a} = -\sigma \frac{\delta\ell}{\ell} \;,$$

donde $\sigma$ se denomina coeficiente de Poisson y también depende del material. Cuando en un sólido las deformaciones provocan una fuerza $\bm{f}\Delta V$ sobre el elemento de volumen $\Delta V$, podemos pensar que esta es la resultante de las tensiones que recibe sobre su superficie: sobre la cara cuya normal se halla en la dirección $\beta$ aparece una fuerza por unidad de área en la dirección $\alpha$ que se representa mediante el tensor de tensiones $T_{\alpha\beta}$. La fuerza resultante sobre este elemento de volumen tendrá entonces componente $\alpha$

$$\oint \sum_\beta T_{\alpha\beta} \,{\rm d}S_\beta = \int \sum_\b... ... T_{\alpha\beta}}{\partial x_\beta} \,{\rm d}V = \int f_\alpha \,{\rm d}V \;,$$

donde utilizamos el teorema de la divergencia. Concluimos que la fuerza es entonces la divergencia del tensor de tensiones

$$f_\alpha = \sum_\beta \frac{\partial T_{\alpha \beta}}{\partial x_\beta} \;.$$

Entonces podemos reescribir la definición del módulo de Young para una varilla en la dirección $x$ cuando no hay fuerzas en las direcciones $y$ o $z$ como $T_{xx}=Y \epsilon_{xx}$.

Al desplazarse cada elemento del sólido, podemos imaginar que se activa un sistema de resortes acoplados, que son los que transmiten las ondas acústicas. Para evidenciarlo, consideramos nuestra varilla de área transversal $a^2$, despreciando cambios en las direcciones $y$ o $z$, lo que equivale a suponer nulo el coeficiente de Poisson. Los tensores de deformaciones y de tensiones tienen solo una componente de interés: planteamos la ecuación de Newton para un elemento diferencial tomando la fuerza como la divergencia del tensor de tensiones

$$\rho \frac{\partial^2 u_x}{\partial t^2} = f_x = \frac{\partial T_{xx}}{\partial x} = Y \frac{\partial\epsilon_{xx}}{\partial x} \;.$$

Como $\epsilon_{xx}=\partial u_x/\partial x$, obtenemos la conocida ecuación de ondas

$$\rho \frac{\partial^2 u_x}{\partial t^2} = Y \frac{\partial^2 u_x}{\partial x^2} \;,$$

correspondiente a una perturbación que se desplaza con velocidad $c_\ell=\sqrt{Y/\rho}$. Para una onda tridimensional deben considerarse tres polarizaciones: una longitudinal y dos transversales. En un medio isotrópico las respectivas velocidades resultan

$$v_\ell = \sqrt{\frac{Y(1-\sigma)}{\rho(1+\sigma)(1-2\sigma)}} \;; \qquad v_t = \sqrt{\frac{Y}{2\rho(1+\sigma)}} \;.$$

En un cristal cualquiera no hay solo dos constantes elásticas $Y$ y $\sigma$, y su número total depende de la simetría del cristal: en uno cúbico hay tres constantes independientes, mientras que en un romboédrico (celda unitaria cúbica estirada según una diagonal), seis.