Esquema de Debye

En este modelo se extiende la suposición de que todas las ramas del espectro vibracional se representan solo mediante 3 ramas (acústicas) en las que $\omega=ck$. Además, las integrales en el espacio $k$, que deberían abarcar la PZB, se sustituyen por integrales en una esfera de radio $k_D$ que contiene los $N$ vectores $\bm{k}$ permitidos. Análogamente a lo que desarrollamos en cómputos anteriores, podemos ver que el volumen en el espacio $k$ asociado a 1 vector $\bm{k}$ posible es $(2\pi)^3/V$, de manera que el volumen asociado a los $N$ vectores $\bm{k}$ es

$$(2\pi)^3\frac{N}{V} = \frac{4}{3}\pi k_D^3 \qquad\Rightarrow\qquad n = \frac{k_D^3}{6\pi^2} \;.$$

Con estas identificaciones,

$$c_v = \frac{\partial ~}{\partial T} \left[ \frac{3\hbar c}{2\pi^2} \int_0^{k_D} \,{\rm d}k\; \frac{k^3}{e^{\beta\hbar ck}-1} \right] \;.$$

Definimos la frecuencia de Debye $\omega_D$ como la máxima frecuencia de los modos normales presentes en el sistema, que se conecta con la temperatura de Debye $\Theta_D$ mediante la relación

$$k_B\Theta_D = \hbar\omega_D = \hbar c\, k_D \;.$$

$\Theta_D$ da una idea sobre la temperatura a partir de la cual todos los modos normales participan en los intercambios de energía del sistema, y su valor puede variar aproximadamente entre 100 K y 2000 K. Si en la expresión anterior realizamos el cambio de variable $x\equiv\hbar ck/(k_BT)$ obtenemos

$$c_v = 9nk_B \left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3 \int_0^{\Theta_D/T} \,{\rm d}x\; \frac{x^4 e^x}{\left(e^x-1\right)^2} \;.$$

Para el límite de bajas temperaturas puede aproximarse la integral por el resultado de integrar entre 0 e $\infty$, de modo que (ejercicio)

$$c_v = \frac{12\pi^4}{5} nk_B \left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3 \simeq 234\, nk_B\left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3 \;.$$