Modelo de Einstein

En lugar de representar las ramas ópticas por la relación de Debye con $k$ grande, pueden mantenerse esas relaciones para las 3 ramas acústicas, mientras que para las ópticas se recurre a la aproximación de Einstein, en la que se asigna una frecuencia constante $\omega(\bm{k})=\omega_E$. Entonces cada rama óptica aporta a la densidad de energía por unidad de volumen

$$u^{\rm opt} = \frac{n\hbar\omega_E}{e^{\hbar\omega_E/(k_B T)}-1} \;,$$ de modo que si hay $r$ ramas ópticas, su aporte al calor específico por unidad de volumen es $$c_v^{\rm opt} = rnk_B \left(\frac{\hbar\omega_E}{k_B T}\right)^2 \frac{e^{\hbar\omega_E/(k_B T)}}{\big[e^{\hbar\omega_E/(k_B T)}-1\big]^2} \;.$$ Si bien el modelo de Debye es posterior al de Einstein y surgió porque a bajas temperaturas era evidente que debían contribuir en mayor grado las frecuencias bajas, está claro que en el esquema de Debye no se tiene en cuenta de ningún modo el aporte de las ramas ópticas, cuyas frecuencias son mayores que las acústicas. Por este motivo suelen elegirse alternativamente uno u otro modelo, adaptándolos según el caso.