Poblaciones en equilibrio termodinámico

Si $g_c(\varepsilon)$ es la densidad de estados en la banda de conducción, el número de electrones por unidad de volumen en esa banda puede escribirse

$$n(T) = \int_{\varepsilon_c}^\infty \,{\rm d}\varepsilon\; g_c(\varepsilon) \frac{1}{e^{\beta(\epsilon-\mu)}+1} \;,$$

mientras que en la banda de valencia el número de huecos por unidad de volumen es

$$p(T) = \int_{-\infty}^{\varepsilon_v} \,{\rm d}\varepsilon\; g_v(... ...\rm d}\varepsilon\; g_v(\varepsilon) \frac{1}{e^{-\beta(\epsilon-\mu)}+1} \;,$$

donde $g_v(\varepsilon)$ es la densidad de estados en esa banda. Estas densidades se simplifican para semiconductores no degenerados, es decir, con probabilidades muy pequeñas para ocupar bordes de banda, lo que ocurre cuando se cumple $\mu-\varepsilon_v\gg k_B T$ y $\varepsilon_c-\mu\gg k_B T$ —a menudo se toma como criterio práctico $\varepsilon_c-\mu>3k_B T$, teniendo presente que la excitación térmica es bastante menor que las brechas $\varepsilon_g$. En estos semiconductores no degenerados, $n\sim10^{19}$ e$^-\!$/cm$^3$ o menos, por lo que presentan un comportamiento muy diferente de los metales, en los que $n\sim10^{22}$ e$^-\!$/cm$^3$.

En los dispositivos electrónicos, la densidad de dopantes suele alcanzar para que no se cumpla el criterio de semiconductor no degenerado. Sin embargo, muchas veces las propiedades de estos dispositivos son condicionadas por regiones poco dopadas, mientras que las muy dopadas funcionan como corto-circuito y pueden ignorarse.

Cuando el semiconductor es no degenerado, las expresiones anteriores pueden aproximarse como

$$n(T) = N_c(T)\,e^{-\beta(\epsilon_c-\mu)} \;, \qquad p(T) = P_v(T)\,e^{-\beta(\mu-\epsilon_v)} \;,$$ (30)

donde definimos las cantidades $N_c(T)$ y $P_v(T)$, independientes de $\mu$, como

$$N_c(T) = \int_{\varepsilon_c}^\infty \,{\rm d}\varepsilon\; g_c(\varepsilon)\,e^{-\beta(\epsilon-\varepsilon_c)} \qquad P_v(T) = \int_{-\infty}^{\varepsilon_v} \,{\rm d}\varepsilon\; g_v(\varepsilon)\,e^{-\beta(\epsilon_v-\varepsilon)} \;.$$ (31)

Las exponenciales de estas últimas expresiones hacen que en las integrales pesen mucho los bordes de cada banda: en lugar de tomar las $g(\varepsilon)$ como constantes, conviene recurrir a las expansiones cuadráticas cerca de los extremos para escribir

$$g_c(\varepsilon) = \int \frac{\,{\rm d}^3 k}{4\,\pi^3}\,\delta\le... ...varepsilon_c -\frac{\hbar^2\!\!}{2} \bm{k}^T \textbf{M}^{-1} \bm{k} \right) ,$$

que puede expresarse en una base que diagonalice M, con lo cual

$$g_c(\varepsilon) = \int \frac{\,{\rm d}^3 k}{4\,\pi^3}\,\delta\le... ...\frac{\hbar^2\!\!}{2} \sum_{\alpha=x,y,z}\frac{k_\alpha^2}{m_\alpha} \right) ,$$

donde $m_\alpha$ son los elementos diagonales de M. Definiendo

$$m_n = \left(m_1\, m_2\, m_3\right)^{1/3}$$   y$$\quad \bm{q} = \left( \frac{k_1}{\sqrt{m_1}},\frac{k_2}{\sqrt{m_2}},\frac{k_3}{\sqrt{m_3}} \right) \;,$$

puede reescribirse

$$g_c(\varepsilon) = 2 \int \,{\rm d}^3 q\; \frac{m_n^{3/2}}{(2\pi)... ...{2\left(\varepsilon-\varepsilon_c\right)}\frac{m_n^{3/2}}{\hbar^3\pi^2}M_c \;,$$

donde $M_c$ es el número de mínimos simétricamente equivalentes de la banda de conducción —en el caso del Si $M_c=6$, mientras que para el Ge $M_c=8$. Entonces podemos avanzar con el cálculo de las integrales (31), definiendo para el caso de los huecos $m_p^{3/2}=m_{p\ell}^{3/2}+m_{pp}^{3/2}$, es decir teniendo en cuenta la contribución de los huecos livianos ($p\ell$) y los pesados ($pp$), arribando a (ejercicio)

$$N_c(T) = \frac{1}{4} \left(\frac{2 m_n k_B T}{\pi\hbar^2}\right)^... ...\qquad P_v(T) = \frac{1}{4} \left(\frac{2 m_p k_B T}{\pi\hbar^2}\right)^{3/2}$$

(¿por qué en $P_v(T)$ no aparece un factor equivalente a $M_c$?).