Semiconductores (basado en los textos de Ashcroft y Marder)

Esencialmente los semiconductores son malos aislantes, que a 0 K tienen las bandas de valencia llenas, separadas de las de conducción por una pequeña brecha de energías $\varepsilon_g\apprle2\,$eV. A temperatura ambiente, pronto veremos que la ocupación de la banda de conducción es proporcional a $e^{-\beta\varepsilon_g/2}\simeq10^{-9}$, donde $\beta=1/(k_B T)$ resulta $\approx\!40\,$eV$^{-1}$ y $\varepsilon_g\simeq1\,$eV. Esto significa que la conductividad eléctrica crece exponencialmente con $T$, al contrario de lo que ocurre en metales, donde las dispersiones reducen la conductividad ( $\sigma=ne^2\tau/m$) al aumentar la temperatura. En particular, a temperatura ambiente las resistividades típicas de un semiconductor pueden oscilar entre $10^{-3}$ y $10^9\,\Omega$ cm, mientras que en un metal estas son $\approx10^{-6}\,\Omega$ cm y en un buen aislante, $10^{22}\,\Omega$ cm. Estos rasgos atípicos atrajeron la atención científica ya en el siglo XIX, y se mantiene vigente en la actualidad.

Las impurezas en los semiconductores juegan un rol crucial en sus propiedades, aun cuando sus concentraciones sean tan bajas como $1/10^{10}$. La comprensión de su influencia en el material semiconductor en cuestión, y el control de su concentración en el mismo permite utilizar estas impurezas para proveer importantes propiedades de transporte, lo que se tornó posible mediante el notable desarrollo de la industria electrónica a través de los últimos 60 años. Por ejemplo, la resistividad del Ge dopado con Sb puede reducirse en un factor $10^{12}$ con la concentración de impurezas; por este motivo, cuando se trata de materiales preparados a propósito, no se habla de impurezas sino de “dopantes”, ya que no se trata de un defecto del material.

Las brechas de energía $\varepsilon_g$ pueden medirse con buena precisión mediante absorción óptica, aunque también es posible inferir los valores de $\varepsilon_g$ de la dependencia de la conductividad con la temperatura, como veremos más adelante. Cuando se ilumina un semiconductor con radiación electromagnética de frecuencia $\omega$, esta lo atraviesa más o menos libremente hasta que la frecuencia de los fotones alcanza para que $\hbar\omega$ supere $\varepsilon_g$, y entonces hay un abrupto crecimiento de la absorción de esa radiación. Si bien los procesos que ocurren son bastante complejos, podemos resaltar algunos rasgos sobre estas determinaciones mediante absorción óptica:

1. En una transición que involucre un fotón deben conservarse la energía y el impulso totales. En Si y Ge, el mínimo $\varepsilon_c$ de las energías $\varepsilon(\bm{k})$ en la banda de conducción no está en el punto $\Gamma\!=\!(0,0,0)$, donde se encuentra el máximo $\varepsilon_v$ de la banda de valencia: se trata de “semiconductores indirectos”, y las transiciones que acompañan la absorción o emisión de los fotones con energía $\hbar\omega$ son mediadas por fonones que permiten balancear la energía y el momento totales, aunque su energía resulta irrelevante en las mediciones, excepto en semiconductores con brechas indirectas excepcionalmente pequeñas. Si bien estos materiales son ampliamente utilizados, muchas aplicaciones ópticas requieren semiconductores directos como el GaAs, en el que los dos extremos que determinan $\varepsilon_g$ se ubican en $\bm{k}=\bm{0}$.
2. Al reducir la energía de los fotones casi hasta el borde de la banda, donde se espera que la absorción óptica se anule, suelen aparecer uno o más picos estrechos: reflejan “excitones”, es decir, pares electrón-hueco ligados, cuyas energías pueden hallarse apenas debajo de las energías asociadas con un solo electrón.
3. Los fotones con $\hbar\omega<\varepsilon_g$ se siguen absorbiendo (mucho menos que las energías mayores) debido a la presencia de impurezas (y de otros fenómenos).

Como señalamos en §5.1.1 pueden ajustarse las relaciones de dispersión cerca de los respectivos extremos de cada banda

$$\left\{ \begin{array}{l} \varepsilon(\bm{k}) = \displaystyle \va... ...T \textbf{M}^{-1} \bm{k} \qquad\mbox{valencia, h$^+$} \;, \end{array} \right.$$

donde M es el tensor de masa efectiva correspondiente. En el máximo de la banda de valencia, el Si, el Ge y el GaAs presentarían una degeneración 3 si no interviniera el espín de los electrones; sin embargo, la interacción espín-órbita desdobla las bandas en $\bm{k}=\bm{0}$ donde ocurre ese máximo, dejando la de mayor energía con degeneración 2: allí las curvaturas son diferentes, lo que implica movilidades distintas, aludiendo entonces a huecos pesados y huecos livianos, ambos con su respectiva contribución al transporte. En virtud de la alta simetría asociada con $\Gamma$, las correspondientes superficies de energía allí resultan esféricamente simétricas, de manera que los tensores de masa efectiva son proporcionales a la identidad.