Población de los niveles en equilibrio térmico a $\bm{T>0}$

Cuando las impurezas no son dopantes, es decir no se han agregado deliberadamente, la descripción se complica, y es necesario analizar las diferentes situaciones que pueden darse, ya que las poblaciones de portadores en cada banda no coinciden. En el caso en que $N_d\ge N_a$, habrá $N_a$ electrones de los $N_d$ agregados (siempre por unidad de volumen) que en el estado fundamental pueden pasar a los niveles aceptores: a $T\!=\!0$ la banda de valencia entonces está llena y también están completos los niveles aceptores disponibles, quedando $N_d\!-\!N_a$ niveles dadores ocupados, y la banda de conducción, vacía.

A $T>0$ se redistribuyen los electrones en los diferentes estados disponibles, debiendo balancearse las poblaciones de manera que el número de electrones en la banda de conducción $n$ más los que están en los niveles dadores $n_d$ deben superar a la población de $T\!=\!0$, $N_d\!-\!N_a$ en una cantidad idéntica a la población de huecos en la banda de valencia $p$ más la de los huecos $p_a$ asociados con los niveles aceptores, de modo que se cumple

$$n + n_d = N_d - N_a + p + p_a \;.$$

Nuevamente suponemos que la energía de excitación térmica es suficientemente pequeña, es decir,

$$\varepsilon_d-\mu \gg k_B T$$   y$$\qquad \mu-\varepsilon_a \gg k_B T \;.$$

Como $\varepsilon_a$ y $\varepsilon_d$ están muy cerca de los bordes de la brecha de energías, esta condición apenas modifica las suposiciones anteriores. Así, la excitación térmica ioniza casi por completo las impurezas, dejando poblaciones muy pequeñas en los sitios agregados, es decir $n_d\!\ll\!N_d$ y $p_a\!\ll\!N_a\,$, de manera que el balance anterior puede aproximarse como

$$\Delta n = n-p \simeq N_d - N_a \;.$$

Utilizando esta aproximación en las ecuaciones (32) que encontramos anteriormente, resulta

$$\left\{ \begin{array}{c} n \\ p \end{array} \right\} = \frac{1}{... ...ightarrow\quad \frac{N_d-N_a}{n_i} = 2 \senh \left[\beta(\mu-\mu_i)\right]\;.$$

Esta relación nos permite explicitar la dependencia del potencial químico con la temperatura, siempre que se mantengan válidas las aproximaciones introducidas.