Contribución al transporte

Para evaluar la población de estas impurezas en el equilibrio termodinámico, necesitamos multiplicar el número de sitios dadores $N_d$ (aceptores $N_a$) por el número medio $\langle n\rangle_d$ ( $\langle p\rangle_a$) de ocupación asociado a cada sitio, que puede evaluarse como

$$\langle n\rangle_d = \frac{\displaystyle\sum_r n_r\, e^{-\beta(\v... ...ilon_r-\mu) n_r}} {\displaystyle\sum_r e^{-\beta(\varepsilon_r-\mu) n_r}} \;,$$

donde las poblaciones que deben considerarse son $n_r\!=\!0$, $n_r\!=\!1$ con espín up y energía $\varepsilon_d$, $n_r\!=\!1$ con espín down y energía $\varepsilon_d$, y el caso $n_r\!=\!2$ no puede darse por la repulsión coulombiana entre electrones. Esto implica que

$$\langle n\rangle_d = \frac{2\,e^{-\beta(\varepsilon_d-\mu)}} {1+... ...\varepsilon_d-\mu)}} = \frac{1}{\frac{1}{2}e^{\beta(\varepsilon_d-\mu)}+1}\;,$$

de donde el número de electrones por unidad de volumen en los sitios dadores resulta

$$n_d = \frac{N_d}{\frac{1}{2}e^{\beta(\varepsilon_d-\mu)}+1} \;.$$

Los niveles aceptores aportan huecos que contribuyen al transporte, y para analizar su población es conveniente pensar que la aparición de un hueco en la banda de valencia complementa la población de los sitios asociados con las impurezas aceptoras. Pensando en la aparición de una carga negativa $-e$ fija en la red, ligada a una carga positiva $+e$, a cada uno de los $N_a$ sitios corresponden 1 o 2 huecos (ausencia de 1 o 0 electrones en esos estados), pero no 0 porque esto corresponde a 2 electrones que, como en el caso anterior, descartamos por la alta energía involucrada en su repulsión coulombiana. De esta manera se obtiene (ejercicio)

$$\color{red} %%%%%%%%% ¡ ¡ ¡ R E V I S A R ese verso ! ! ! %%%%... ...{\beta(\mu-\varepsilon_a)}+1} {\frac{1}{2}e^{\beta(\mu-\varepsilon_a)}+1} \;.$$

Como el número medio de huecos $\langle p\rangle_a$ es el complemento de $\langle n\rangle_a$, es decir $\langle p\rangle_a=2-\langle n\rangle_a$, el número de huecos por unidad de volumen asociados a los sitios aceptores resulta

$$\color{red} p_a = \frac{N_a}{\frac{1}{2}e^{\beta(\mu-\varepsilon_a)}+1} \;.$$