Niveles de impurezas

Algunas impurezas son átomos que aportan un electrón extra a la banda de conducción, y por ese motivo se denominan dadoras. En cambio cuando proveen huecos extra, es decir, pueden alojar fácilmente un electrón de la banda de valencia, se denominan aceptoras.

Las impurezas dadoras son átomos de mayor valencia que la de la matriz, es decir, disponen de más electrones “para compartir” que los átomos del semiconductor puro. Por ejemplo, el Ge ( $Z_a\!=\!32$) cuenta con 4 electrones de valencia por ion, y puede presentar impurezas de As ( $Z_a\!=\!33$), que comparte 5 electrones por átomo; en la red cristalina, el átomo de arsénico se comporta casi como uno de germanio, pero su núcleo suma una carga positiva $+e$ extra en un sitio fijo de la red, junto con su electrón de valencia adicional. Supongamos entonces que tenemos $N_d$ impurezas dadoras por unidad de volumen, que representan a $N_d$ cargas $+e$ dispersas irregularmente en sitios fijos de la red acompañadas por $N_d$ electrones. Cada uno de esos núcleos en el estado fundamental puede ligarse a un electrón: si se tratara de átomos aislados, esta energía de ligadura para el As sería de 9,81 eV; pero como la impureza está inmersa en la estructura del semiconductor, la energía requerida para romper este enlace se reduce considerablemente hasta 0,013 eV. El motivo de esta reducción es que un electrón en presencia de este centro con carga $+e$ se mueve dentro del semiconductor “anfitrión” de constante dieléctrica $\epsilon$ con una masa efectiva $m^*$ en el vacío: esto puede representarse con un átomo de hidrógeno que en el centro de atracción tiene una carga $+e/\epsilon$, por lo cual el potencial involucra el producto de las cargas $-e^2/\epsilon$ en lugar de $-e^2$, actuando sobre una masa $m^*$ en lugar de $m$. Entonces el radio de la primera órbita de Bohr, en lugar de $a_o\!=\!\hbar^2/(me^2)$, en este caso es (ejercicio)

$$r_o = \frac{m}{m^*}\epsilon\,a_o \;,$$

con lo cual la autoenergía del estado fundamental resulta

$$E_o = \frac{m^*}{m}\frac{1}{\epsilon^2}\times 13.6\,{\rm eV}$$

en lugar de $me^4/(2\hbar^2)\!=\!13.6$ eV. Valores típicos de $r$ rondan los 100 Å, es decir, las funciones de onda se extienden bastante sobre el medio dieléctrico, lo que justifica el enfoque macroscópico que hemos planteado. En general las energías de ligadura de estos átomos ficticios son muy chicas (unas 1000 veces menores) comparadas con las brechas entre las bandas de conducción y de valencia: las impurezas dadoras agregan niveles electrónicos apenas por debajo de $\varepsilon_c\,$.

El mismo razonamiento puede aplicarse a impurezas aceptoras, que tienen menor valencia (en general, un electrón menos) que los átomos de la matriz —un ejemplo es impurezas de Ga ( $Z_a\!=\!31$) en Ge ( $Z_a\!=\!32$). Entonces pensamos que aparece una carga $-e$ en un sitio fijo de la red (el átomo dopante), y un hueco ligado a él en el cristal. Quedan como ejercicio los detalles para completar la descripción, y aquí destacamos que como resultado, se agrega un nivel electrónico $\varepsilon_a$ apenas por encima de $\varepsilon_v\,$. Respecto de la brecha de energía

 

debe cumplirse una relación análoga a la del caso anterior, es decir, $\varepsilon_a-\varepsilon_v$ resulta bastante menor que $\varepsilon_g\,$.

Algunos ejemplos típicos de impurezas aceptoras en Si o Ge son B, Al, Ga, In y Tl; mientras que impurezas dadoras comunes son P, As, Sb y Bi. Como dijimos, los niveles agregados por estas impurezas están muy cerca de $\varepsilon_v$ o de $\varepsilon_c\,$, es fácil conseguir su excitación térmica, para que los electrones sean promovidos a la banda de conducción en el caso de las impurezas dadoras, o se remuevan de la banda de valencia en el caso de las impurezas aceptoras. En ambas situaciones se agregan portadores de carga que contribuyen notoriamente a las propiedades de transporte en los semiconductores: las impurezas dadoras aportan electrones a la banda de conducción, mientras que las aceptoras generan huecos en la banda de valencia.