Semiconductores intrínsecos y extrínsecos

Para encontrar las poblaciones $n(T)$ y $p(T)$ de equilibrio es necesario conocer el potencial químico $\mu$, aunque afortunadamente el producto de estas poblaciones no depende de $\mu$

$$n(T)\,p(T) = N_c P_v\, e^{-\beta\varepsilon_g} \qquad \left( \varepsilon_g\!=\!\varepsilon_c\!-\!\varepsilon_v \right) \;.$$

Este resultado, conocido como “ley de acción de masas”, implica que para cada temperatura alcanza con conocer la población de uno de los portadores para determinar la del otro. La presencia de impurezas en el semiconductor es determinante para lograrlo, por lo que hay que diferenciar la situación de un cristal puro o semiconductor intrínseco del caso de un cristal con impurezas agregadas controladamente (dopantes) o semiconductor extrínseco.

Cuando se trata de un semiconductor intrínseco, a cada electrón en la banda de conducción corresponde un hueco en la banda de valencia, es decir $n_i(T)=p_i(T)$, lo que nos permite despejar

$$n_i(T) = \sqrt{N_c P_v}\,e^{-\beta\varepsilon_g/2} \, \textcolor{... ...c\, e^{-\beta(\epsilon_c-\mu)} = P_v\, e^{-\beta(\mu-\epsilon_v)} \right)} \;,$$

de manera que el potencial químico para un semiconductor intrínseco se escribe

$$\mu_i = k_B T \ln\frac{n_i}{N_c} + \varepsilon_c = \varepsilon_v... ...n_g}{2} + \frac{3}{4}k_B T \ln\frac{m_p}{m_n} - \frac{1}{2} k_B T \ln M_c \;.$$

Podemos encontrar la energía de Fermi para este sistema como el límite de $\mu_i$ para bajas temperaturas

$$\varepsilon_F = \stackrel[T\to0]{}{\mu_i\to} \varepsilon_v + \frac{\varepsilon_g}{2} \;,$$

o sea, justo entre $\varepsilon_v$ y $\varepsilon_c\,$.

En el caso de un semiconductor extrínseco, al utilizar ciertas impurezas como dopantes, la física cambia drásticamente. Como las concentraciones de estos dopantes siguen siendo pequeñas, pueden utilizarse expresiones similares a las (30): los valores de las integrales para $N_c(T)$ y $P_v(T)$ no varían sustancialmente, pero el potencial químico se acercará a la banda de valencia o de conducción, según la naturaleza de las impurezas, y esto tendrá una incidencia importante a través de las exponenciales de las expresiones (30). Con esta idea, para el caso general de semiconductor extrínseco no degenerado, suelen escribirse las poblaciones de las bandas de interés en términos de las poblaciones del semiconductor intrínseco

$$n(T) = n_i(T)\, e^{\beta(\mu-\mu_i)}$$   y$$\qquad p(T) = n_i(T)\, e^{-\beta(\mu-\mu_i)} \;.$$

Las impurezas desbalancean el equilibrio de estas poblaciones, es decir, $\Delta n\equiv n-p\neq0$; no obstante sigue valiendo la ley de acción de masas, es decir (ejercicio)

$$n\,p = n_i^2 \quad\Rightarrow\quad \left\{ \begin{array}{c} n \\ ... ...ray} \right\} = \frac{\sqrt{(\Delta n)^2+4n_i^2}}{2} \pm \frac{\Delta n}{2} \;.$$ (32)

Con estas expresiones podemos explicitar el nivel (relativo) de impurezas como función del potencial químico

$$\frac{\Delta n}{n_i} = 2\, \senh \left[\beta(\mu-\mu_i)\right] \;.$$

La validez de las expresiones anteriores se basa en el hecho de que estamos analizando el régimen no degenerado, de modo que si $\mu_i$ está bastante apartado de $\varepsilon_c$ o de $\varepsilon_v$ (en comparación con $k_B T$), $\mu$ también deberá estarlo, salvo cuando se cumpla que $\Delta n\gg n_i$.