Banda de goma

Este sistema está conformado por un manojo de moléculas de polímeros encadenados. Las cantidades macroscópicas de interés son la longitud $L$, la tensión $\tau$ aplicada en los extremos, la temperatura $T$ y la energía interna $U$. El número de moléculas monoatómicas podría asociarse con el parámetro $n$; como en general este número no cambia, por el momento no lo tendremos en cuenta.

El trabajo mecánico que puede realizarse sobre nuestro sistema conjuga la acción de la tensión en los extremos con el estiramiento ${\rm d}L$ del sistema, es decir, ${\rm d}\!\bar{ } W=\tau {\rm d}L$; equivalentemente, podemos pensar que asociamos el par de variables $X\leftrightarrow L$ y $Y\leftrightarrow\tau$.

Las determinaciones experimentales indican por un lado que si se mantiene $L$ constante, $\tau$ aumenta linealmente con $T$; en segundo lugar, se observa que $U$ no depende de $L$ cuando se mantiene $T$ constante. De esta última evidencia puede esperarse que se cumpla la relación $U=cL_oT$ (respetando la dependencia de $\tau$ con $T$), donde $c$ es una constante y $L_o$ la longitud de la banda sin someter a ninguna tensión.

Para $L_o<L<L_1$, donde $L_1$ es el límite elástico para el sistema, una relación lineal entre la tensión y la longitud estará representada como

$$\tau = b T \frac{L-L_o}{L_1-L_o} \; ,$$

donde $b$ es una constante. Se propone esta relación lineal simplemente porque acompaña los modelos elásticos más sencillos, que a su vez concuerdan con la evidencia experimental. Entonces podemos escribir

$${\rm d}S = \frac1T {\rm d}U - \frac{\tau}{T} {\r... ...\frac{ {\rm d}U}U - b \frac{L-L_o}{L_1-L_o} {\rm d}L \; ,$$

de manera que integrando obtenemos

$$S = S_o + c L_o \ln \frac U{U_o} - \frac b{2 (L_1-L_o)} (L-L_o)^2 \;.$$

A pesar de haber construido nuestra descripción a partir de evidencias simples, este modelo representa bastante bien las propiedades empíricas observadas en este tipo de sistemas.