Aprovechamiento del flujo de calor

Los procesos de transformación de energía calórica en mecánica o viceversa deben ser tales que hagan crecer la entropía o a lo sumo la mantengan constante. Esta limitación ha frustrado numerosos inventos que pretendían el mejor aprovechamiento de la energía calórica para activar motores, pero su funcionamiento resulta imposible ya que violaría el segundo principio de la termodinámica.

Para facilitar la comprensión del problema, veamos un primer ejemplo en el cual se dispone de dos sistemas idénticos $\bigcirc\hspace{-0.75em}1$  y $\bigcirc\hspace{-0.75em}2$  de volumen y capacidades caloríficas $C$ constantes, que sólo pueden recibir energía en forma de calor (no puede realizarse trabajo mecánico sobre ellos). Las temperaturas iniciales de estos sistemas son $T_{10}$ y $T_{20}(>T_{10})$, y se desea aprovechar el flujo de calor para activar un motor (cíclico) que entregue trabajo mecánico. La pregunta que nos hacemos es: ¿cuál es el máximo trabajo que puede producirse?

Para contestar este interrogante, comencemos notando que al interesarnos por motores que realizan ciclos completos, sus estados inicial y final serán idénticos. Esto significa que luego del proceso buscado, la energía interna del motor tendrá el mismo valor que al principio, por lo que $\Delta U_m=0$. Por otro lado, como los sistemas $\bigcirc\hspace{-0.75em}1$  y $\bigcirc\hspace{-0.75em}2$  sólo pueden recibir energía en forma de calor, para el sistema conjunto el cambio de la energía interna será

$$\Delta U = \Delta U_1 + \Delta U_2 = 2 C T_f - C (T_{10}+T_{20}) \;,$$

donde $T_f$ es la temperatura final a que arriban ambos sistemas. Si $W'$ representa el trabajo realizado por el motor, la primera ley para el sistema conjunto exige que $-W'=\Delta U$, ya que el sistema conjunto no recibe calor del exterior, y el trabajo realizado sobre el motor es $-W'$. Por consiguiente,

$$W' = C (T_{10}+T_{20}) - 2 C T_f \;.$$

De aquí vemos que para maximizar $W'$ debe minimizarse $T_f$. Asimismo, si deseamos extraer trabajo de este sistema, exigimos $W'\geq 0$, lo que impone la cota superior $T_f\leq(T_{10}+T_{20})/2$.

Por otro lado, como el motor vuelve al estado inicial, su entropía no cambia, de modo que la variación de entropía del sistema conjunto está dada por $\Delta S = \Delta S_1 + \Delta S_2$. Podemos evaluar estas variaciones de entropía,

$${\rm d}S_1 = \frac{ {\rm d}\!\bar{ } Q}{T_1} = C \fr... ...\Rightarrow \quad \Delta S_1 = C \ln \frac{T_f}{T_{10}} \;.$$

Con el mismo procedimiento evaluamos $\Delta S_2$, de manera que

$$\Delta S = C \ln \frac{{T_f}^2}{T_{10} T_{20}} \;.$$

Los valores posibles para $T_f$ estarán dominados por el hecho de que debe cumplirse $\Delta S \geq 0$, o sea que el mínimo $T_f^\star$ ocurre para $\Delta S = 0$, lo que equivale a

$$T_f^\star = \sqrt{T_{10}T_{20}} \; .$$

Reemplazando en la expresión para $W'$ obtenemos el máximo trabajo $W^\star$ que buscamos:

$W^\star = C \left( T_{10} + T_{20} - 2\sqrt{T_{10}T_{20}\rule[-0.2em]{0em}{1.5em}} \right) \rule[-1.6em]{0em}{4em}$

Notemos que $W^\star<C (T_{20}-T_{10})$, que es todo el calor que podría fluir si el sistema caliente descendiera su temperatura hasta alcanzar la del más frío (la verificación de esta desigualdad se deja como ejercicio).

De las expresiones anteriores se deduce que $W'$ decrece cuando crece $T_f$, resultando $W'_{\rm min}$ para el máximo valor de $T_f\leq(T_{10}+T_{20})/2$. En efecto, esto ocurre cuando simplemente se ponen en contacto $\bigcirc\hspace{-0.75em}1$  y $\bigcirc\hspace{-0.75em}2$ , que casualmente corresponde al máximo aumento de entropía (con $W'\geq 0$).

Vale la pena hacer hincapié en el hecho de que si bien $\Delta S_1>0$, $S_2$ disminuyó a lo largo del proceso analizado. Esto no implica ningún inconveniente con los postulados que hemos introducido, ya que el sistema como un todo aumentó su entropía (o la mantuvo constante).

En este ejemplo se ha puesto en evidencia que el aprovechamiento máximo del flujo de calor como trabajo mecánico ocurre cuando la entropía se mantiene constante. Por este motivo suelen asociarse los aumentos de la entropía con el ``desaprovechamiento'' del flujo de energía calórica.