Estados puros y mezcla

Si todos los sistemas de nuestro ensamble están en el mismo estado $\vert k_o,t\rangle$, el valor de expectación de $\hat A$ es $\langle k_o,t\vert\hat A\vert k_o,t\rangle\!=\!A_{k_o}$ en todos los sistemas. Por lo tanto,

$$\langle \hat A\rangle_M = A_{k_o} \qquad\qquad {\rm y}\qquad\qquad \hat\rho = \vert k_o,t\rangle \langle k_o,t\vert \;.$$

Entonces se cumple que $\hat\rho ^2\!=\!\hat\rho$. Si lo expresamos en una base donde $\hat\rho$ es diagonal, esto significa que debe cumplirse $\rho_i^2\!=\!\rho_i$, pero como ${\rm Tr}(\hat\rho)\!=\!1 \left(=\!{\rm Tr}(\hat\rho ^2)\right)$, la única forma en que se pueden cumplir simultáneamente las condiciones $\sum_i\rho_i\!=\!1$ y $\sum_i\rho_i^2\!=\!1$ con $0\le\rho_i\le1$ es que $\rho_\ell\!=\!1$ y $\rho_{i\neq\ell}\!=\!0$ para algún valor $\ell$.

Como $\hat\rho$ siempre es diagonalizable, vemos que la diferencia entre un estado puro y un estado mezcla es justamente esta: en un estado mezcla, que es el caso más general, la representación diagonal de $\hat\rho$ contiene más de un elemento distinto de cero, y esta situación corresponde al caso en que no poseemos tanta información acerca del sistema como para predecir exactamente en qué estado se encuentra.

Como vemos, siempre es conveniente pensar algunas expresiones que involucran trazas en una base que diagonaliza a $\hat\rho$ (ya que la traza no depende de la representación elegida). Así evitaremos además la desazón de encontrar inesperadas la notación y la forma del operador densidad. Si $\hat\rho$ es diagonal, cada elemento $\rho_i$ representa la probabilidad de que el sistema ocupe cierto estado $\vert i\rangle$, que anteriormente habíamos señalado como $P_i$. Entonces, el hecho de que ${\rm Tr} (\hat\rho)\!=\!1$, significa que $\sum_i P_i\!=\!1$, que se convierte en una expresión mucho más familiar para nosotros. Por otro lado, en el caso en que $\hat\rho$ y $\hat A$ conmuten, puede elegirse una base que diagonalice a ambos operadores: en este caso $P_i$ representa también la probabilidad de que el sistema ocupe un estado para el cual $\hat A$ posee su autovalor $A_i$. Esto implica que el valor medio $\langle\hat A\rangle_M$ presenta un aspecto bastante menos sorpresivo, ya que ${\rm Tr} (\hat\rho\hat A)\!=\!\sum_i \rho_i A_i\!=\!\sum_i P_i A_i$, reencontrándonos con las expresiones de nuestra infancia.