Variables estocásticas discretas

Si $X$ es una variable estocástica que puede tomar un conjunto numerable de valores $\{x_1,x_2,\dots\}$, podemos asignar a cada $x_i$ una probabilidad $f(x_i)$. Esta distribución de probabilidades no puede tomar valores negativos, y debe cumplir la condición de normalización $\sum_i f(x_i)=1$ (sumando todas las $x_i$ posibles).

La distribución de probabilidades $f(x_i)$ constituye toda la información posible sobre la variable estocástica $X$. A menudo no puede determinarse $f(x_i)$ sino algunos de sus momentos $n$-ésimos, definidos como

$$\langle X^n \rangle = \sum_i x_i^n f(x_i) \;.$$

Los momentos de $X$ dan información acerca de la forma de $f(x_i)$. En general, los más importantes son los primeros de ellos. El primer momento $\langle X \rangle$ suele señalarse como valor esperado porque nos provee el valor medio de la distribución. A partir del segundo momento se define la varianza de $X$ como

$${\rm var}(X) = \langle X^2 \rangle - \langle X \rangle^2 \qquad \left( = \left\langle (X - \langle X \rangle)^2\right\rangle\;\right)$$

y de aquí, la desviación estándar

$$\sigma_X = \sqrt{\displaystyle\langle X^2 \rangle - \langle X \ra... ...\displaystyle\left\langle (X - \langle X\rangle)^2 \right\rangle}\;\right)\;,$$

que da una idea del “ancho” de la distribución.