Variables estocásticas continuas

Cuando la variable $X$ puede tomar valores continuos, la distribución debe ser una función continua a trozos, de modo que la probabilidad de tener un valor $a\le X\le b$ sea el área bajo la curva $f_X(x)$ en ese intervalo:

$$P(a\le X\le b) = \int_a^b {\rm d}x \; f_X(x) \;.$$

En este caso, $f_X(x)$ se denomina densidad de probabilidad de $X$, y como en el caso discreto debe cumplirse $f_X(x)\ge0$ además de la condición de normalización

$$\int {\rm d}x \; f_X(x) = 1 \;,$$

donde la integración debe extenderse sobre todo el rango de valores posibles para $X$.

Análogamente al caso de variables discretas, la definición del $n$-ésimo momento en este caso es

$$\left\langle X^n \right\rangle = \int {\rm d}x \; x^n f_X(x) \;.$$

Obviamente, el primer momento $\left\langle X\right\rangle$ vuelve a ser el valor medio (o valor esperado), y la desviación estándar $\sigma_X$ se define como antes a partir del primer y el segundo momentos.

El conocimiento de todos los momentos $\langle X^n \rangle$ implica el conocimiento completo de $f_X(x)$. Esto se ve fácilmente introduciendo la función característica

$$\phi_X(k)\equiv \left\langle e^{ikX}\right\rangle = \int {\rm d}x\;e^{ikx}f_X(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(ik)^n \langle X^n \rangle}{n!} \;,$$ (1)

donde el último término tiene sentido como herramienta siempre que $\langle X^n \rangle$ sea pequeño para $n$ grande. Vemos que la densidad de probabilidad $f_X(x)$ es la transformada de Fourier de $\phi_X(k)$:

$$f_X(x) =\frac 1{2\pi} \int {\rm d}k\; e^{-ikx} \phi_X(k) \;.$$

Así hemos visto que, efectivamente, si conocemos todos los momentos $\langle X^n \rangle$ queda determinada la función característica, y a través de esta última identidad podemos encontrar la densidad de probabilidad $f_X(x)$. Del mismo modo, cuando conocemos $\phi_X(k)$, los momentos se obtienen directamente a partir de la relación (1):

$$\left\langle X^n \right\rangle = \left.\frac 1{i^n} \frac{ {\rm d}^n\phi_X(k)}{ {\rm d}k^n}\right\vert _{k=0} \;.$$

Esta relación es muy útil cuando resulta más fácil encontrar los momentos realizando la transformada de Fourier de $f_X(x)$ y luego derivando en lugar de utilizar la definición.

Otra alternativa que puede ser interesante, dependiendo del problema encarado, involucra una expansión de la función característica $\phi_X(k)$ en término de los cumulantes de orden $n$ $C_n(X)$, definidos mediante la relación

$$\phi_X(k) = \exp \left[\sum_{n=1}^\infty\frac{(ik)^n}{n!} C_n(X)\right] \;.$$

A menudo necesitamos conocer la densidad de probabilidad en términos de la variable estocástica $Y=g(X)$. Como los valores medios de cualquier función deben coincidir al calcularlos en términos de $X$ o $Y$, el entrenado lector puede mostrar que debe satisfacerse la relación

$$f_Y(y) = \int {\rm d}x\; \delta \bigl(y-g(x)\bigr) f_X(x) \;,$$

donde la delta de Dirac es la delta de Dirac.