Gas de red

Una aplicación interesante del modelo de Ising es el de un gas imaginado como un conjunto de $N$ sitios de red (de Bravais) fijos, en los cuales pueden acomodarse las moléculas que conforman el gas. La energía cinética de las moléculas no es tenida en cuenta, y se considera que el potencial de interacción entre las partículas depende sólo de la distancia entre ellas $r\equiv\vert\bm{r}_j-\bm{r}_i\vert$. Si tomamos el parámetro de red como la unidad, el potencial puede expresarse como

$$v(r) = \left\{ \begin{array}{cl} \infty & \mbox{si } r=0 \\ -\epsilon & \mbox{si } r=1 \\ 0 & \mbox{para otros valores} \end{array} \right.$$

A cada sitio $i$ entonces podemos asociar un número de ocupación $n_i=0\,$ ó 1 (vacío o con una sola partícula). Para una determinada configuración $\{n_1,\dots,n_N\}\,$ los autovalores del hamiltoniano correspondiente a este sistema estarán dados por

$$H_g = -\epsilon \sum_{\langle ij\rangle} n_i n_j \;.$$

Como se trata de un sistema abierto, podemos evaluar la gran partición como

$${\cal Z}_g = \sum_{n=0}^N \sum_{\{n_i\}} e^{\beta(H_g-\mu n)} \qquad \left( \mbox{con} \sum_{i=1}^N n_i = n \right) \;.$$

Mediante la sustitución $n_i=\frac12(1+\sigma_i)$, con $\sigma_i=\pm1$, podemos reescribir

$$H_g = -\frac{\epsilon}4 \left[ \sum_{\langle ij\rangle} \left(\s... ...m_{\langle ij\rangle} \sigma_i\sigma_j \right] - \frac{\gamma N\epsilon}8 \;.$$

De este modo

$$H_g - \mu \sum_{i=1}^N n_i = -\frac{\epsilon}4 \sum_{\langle ij\r... ...) \sum_{i=1}^N \sigma_i - \frac{N}2 \left(\mu+\frac{\gamma\epsilon}4\right)\;,$$

de donde

$${\cal Z}_g = e^{\textstyle\frac{\beta N}2 \left(\mu+\frac{\gamma\epsilon}4\right)} Z_I \;,$$

donde $Z_I\,$ corresponde a la función partición del modelo de Ising para un sistema con $J=\epsilon/4\,$ y $B=\mu/2+\gamma\epsilon/4$. El gran potencial para el gas de red resulta entonces

$$\Omega_g(T,V,\mu) = G_I(T,B=\frac{\mu}2+\frac{\gamma\epsilon}4, N) - \frac{N}2 \left(\mu+\frac{\gamma\epsilon}4\right) \;.$$

En este gas de red la densidad de partículas por unidad de volumen $\langle n\rangle/N\,$ debe asociarse con la cantidad $\frac12[1+m(T,B=\mu/2+\gamma\epsilon/4)]$. Aunque el modelo es muy simple, se predicen adecuadamente isotermas similares a las del gas de Van der Waals, recurriendo a la identidad $\Omega_g=-PV$.