Un extremo fijo y uno libre

Si un sólo extremo está fijo y el otro se encuentra libre, las condiciones en el contorno pueden escribirse según: $\psi(x=0,t) = 0$ y

$$\left. \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial x} \right\vert _{x=L} = 0$$ (12)

Esta última condición impone ahora que $\cos(kL) = 0$. De lo cual tenemos que los posibles valores de $k$ son en este caso

$$k = \frac{\pi}{2L} \,(2n-1) \,, \qquad n = 1, 2, \ldots \;,$$ (13)

y los correspondientes valores de $\lambda$ resultan

$$\lambda = \frac{4L}{2n-1} \,, \qquad n = 1, 2, \ldots \;;$$ (14)

Las posibles frecuencias de oscilaciones estacionarias,

$$\nu = \frac{v}{4L} \,(2n-1) \,, \qquad n = 1, 2, \ldots \;,$$ (15)

resultan ahora multiplos impares de la frecuencia fundamental.

Ejercicios (para realizar antes de entrar al laboratorio):

1) Calcular las posiciones de los nodos en los modos normales de oscilación de la cuerda con un extremo libre.

2) Graficar los patrones espaciales de los cuatro primeros modos normales para la cuerda con:

a) ambos extremos fijos,

b) un solo extremo fijo.

Por último, para cada medio elástico existe una relación constitutiva que vincula la velocidad de propagación con las características del medio en cuestión. Para una cuerda elástica, en particular, puede demostrarse que

$$\framebox{ $v = \sqrt{ \rule{0cm}{20pt} \displaystyle\frac{T}{\mu}} $ } \;,$$ (16)

donde $T$ es la tensión a la que está sometida la cuerda en reposo y $\mu$ es la densidad lineal de masa.