Primera prueba del teorema

Comencemos recordando que el operador $\hat{T}_{\bm{R}}$ de traslación según $\bm{R}$ se define mediante la relación⁴

$$\hat{T}_{\bm{R}}\,f(\bm{r}) = f(\bm{r}+\bm{R}) \;.$$

Como $\hat{H}$ es periódico,

$$\left(\hat{T}_{\bm{R}}\,\hat{H}\right)\psi = \hat{T}_{\bm{R}}\lef... ...\hat{T}_{\bm{R}}\,\psi\right) = \left(\hat{H}\,\hat{T}_{\bm{R}}\right)\psi \;,$$

es decir, $[\hat{T}_{\bm{R}},\hat{H}]=0$, como debíamos esperar. Esto significa que podemos elegir $\psi\,$ para que sea autoestado simultáneamente de $\hat{T}_{\bm{R}}$ y $\hat{H}$:

$$\hat{H}\,\psi = \varepsilon\,\psi$$   y$$\qquad \hat{T}_{\bm{R}}\,\psi = c(\bm{R})\,\psi \;.$$

Por construcción, también se cumple que $\hat{T}_{\bm{R}}\,\hat{T}_{\bm{R'}} = \hat{T}_{\bm{R'}}\,\hat{T}_{\bm{R}} = \hat{T}_{(\bm{R+R'})}$: pueden aplicarse sucesivas traslaciones a $\psi$, obteniendo

$$\hat{T}_{\bm{R'}}\,\hat{T}_{\bm{R}}\,\psi = c(\bm{R'})\,c(\bm{R})\,\psi = c(\bm{R}+\bm{R'})\,\psi \;.$$

Estas propiedades nos permitirán saber cómo son los autovalores $c(\bm{R})$. Por un lado, como $\hat{T}_{\bm{R}}$ es unitario, sabemos que debe cumplirse $\vert c(\bm{R})\vert\!=\!1\,$. En particular, para los vectores primitivos $\{\bm{a}_j\}$ de la red podemos denotar $c(\bm{a}_j)\!=\!e^{i\,2\pi\,\alpha_j}\;\;(\alpha_j\in\mathbb{R})$. Para un vector cualquiera de la red entonces

$$\bm{R} = n_1\,\bm{a}_1 + n_2\,\bm{a}_2 + n_3\,\bm{a}_3 \quad\Righ... ...c(\bm{a}_3)\bigr]^{n_3} = e^{i\,2\pi(n_1\alpha_1+n_2\alpha_2+n_3\alpha_3)} \;,$$

de manera que si elegimos $\bm{k}=\alpha_1\,\bm{b}_1+\alpha_2\,\bm{b}_2+\alpha_3\,\bm{b}_3$ en el espacio recíproco (no en la red recíproca), donde los $\bm{b}_\ell$ son los vectores primitivos de la red recíproca, esto es equivalente a $e^{i\bm{k}\cdot\bm{R}}$, ya que se cumple $\bm{b}_\ell\cdot\bm{a}_j=2\pi\,\delta_{\ell j}\,$ (ejercicio). Reuniendo todos estos elementos tenemos que

$$\psi(\bm{r}+\bm{R}) = \hat{T}_{\bm{R}}\,\psi = e^{i\bm{k}\cdot\bm{R}}\, \psi(\bm{r}) \;,$$

lo que demuestra el teorema, de acuerdo a la expresión (5).