Condición de contorno de Born - von Karman

Al igual que en el modelo de Drude-Sommerfeld para electrones libres, consideramos un fragmento termodinámico de nuestro sistema para imponer condiciones de contorno periódicas, de modo que nuestra descripción reproduzca la misma física (contenida en $\psi$) al desplazarnos una “distancia termodinámica” $N_j\bm{a}_j$ en la dirección de cada vector primitivo $\bm{a}_j$ de nuestra red de Bravais

$$\psi(\bm{r}+N_j\bm{a}_j) = \psi(\bm{r}) \qquad\qquad 1\lll N_j\in\mathbb{N} \;;$$ (6)

aquí estamos involucrando entonces un sistema con $N\!=\!N_1N_2N_3$ celdas primitivas. Aplicando el teorema de Bloch a cualquiera de estos desplazamientos

$$\psi_{n\bm{k}}(\bm{r}+N_j\bm{a}_j) = e^{i\,N_j\,\bm{k}\cdot\bm{a}_j}\, \psi_{n\bm{k}}(\bm{r}) \;,$$

la igualdad (6), llamada condición de Born - von Karman, implica que debe cumplirse

$$e^{i\,N_j\,\bm{k}\cdot\bm{a}_j}\!=\!1 \;,$$   y como$$\quad \bm{k}=\sum_{j=1}^3 \alpha_j\,\bm{b}_j \qquad\Rightarrow\q... ... \qquad\Rightarrow\qquad \alpha_j=\frac{m_j}{N_j}\quad (m_j\in\mathbb{Z}) \;,$$

o lo que es equivalente,

$$\bm{k}=\sum_{j=1}^3 \frac{m_j}{N_j}\,\bm{b}_j \;.$$ (7)

Aquí queda claro que toda la información relevante está contenida en una celda primitiva, ya que cuando algún $m_j$ supera el valor de $N_j$, podemos separar una fase $e^{i\,2\pi}$, que resulta irrelevante físicamente (ejercicio).

De esta expresión se infiere que el volumen en el espacio recíproco asociado a cada estado con un valor de $\bm{k}$ permitido para nuestras soluciones es

$$\,{\rm d}^3 k = \frac{\bm{b}_1}{N_1} \cdot \left(\frac{\bm{b}_2}... ...ht) = \frac{1}{N} \; \bm{b}_1 \cdot \left( \bm{b}_2\times\bm{b}_3 \right) \;.$$

Dicho de otra manera, el número de estados $\bm{k}$ —asociados con las soluciones de la ecuación de Schrödinger— contenidos en una celda primitiva de la red recíproca es $N$ (números de sitios del cristal). Como el volumen unitario de la red recíproca es $(2\pi)^3/v\,$, el volumen asociado con cada $\bm{k}$ permitido es $\,{\rm d}^3\bm{k}\!=\!(2\pi)^3/V\,$, es decir, la misma asociación que realizamos al desarrollar el modelo de electrones libres de Sommerfeld en la §1.2.

Pronto pondremos en evidencia cómo son las soluciones $\psi_{n\bm{k}}$ en relación a los sitios $\bm{R}$ de la red; por ahora, podemos ver un ejemplo de la construcción de las ondas de Bloch en la figura siguiente (tomada del texto de Marder).