Dos ejemplos de sistemas cuánticos

El problema central en el caso cuántico también es contar los estados de nuestro sistema compatibles con el valor de energía $E$ preestablecido.

Veremos en primer lugar el caso de $N$ espines $1/2$ no interactuantes en un sólido bajo la acción de un campo externo $B$. Las energías posibles para cada espín son $\pm\mu B/2$, de modo que las energías totales para todo el sistema serán $-N \mu B/2,(-N/2\!+\!1)\mu B,\dots,+N \mu B/2$. Denotando el valor de la energía como

$$E_M = \left(-\frac{N}2+M\right) \mu B \qquad\qquad (0\le M\le N) \;,$$

debemos entonces evaluar el número de formas $W(M)$ en que pueden combinarse $M$ espines alineados con el campo con $N\!-\!M$ desalineados. Se deja como ejercicio resolver este problema combinatorio, válido para cualquier sistema en el que sus componentes pueden acceder solo a 2 estados cuyas energías suelen denotarse como 0 y $\epsilon$. Este problema es conocido como sistema de dos niveles (por razones desconocidas), y puede verse que para temperaturas extremas se anulan los valores asintóticos para el calor específico por distintos motivos. En el límite de bajas temperaturas, la misma definición de calor específico $\Delta U\!=\!N c \Delta T$ nos hace ver que la cuántica prohíbe a nuestro sistema absorber cantidades infinitesimales de energía (calor) puesto que existe un umbral discreto entre el nivel fundamental y el primer nivel excitado para nuestro sistema⁶. Para temperaturas altas, como los niveles de energía son acotados, una vez que el sistema absorbió el máximo de energía posible, no importa si el baño térmico que lo circunda aumenta su temperatura, pues ya no puede seguir incrementando su energía $U$.

El segundo ejemplo que abordaremos aquí consiste en el modelo de Einstein para el sólido cristalino. La descripción termodinámica que se busca para el sistema sólo tiene en cuenta las oscilaciones colectivas del sólido (ignorando la contribución de los electrones, efectos de superficie, etc.). Esto significa considerar únicamente las interacciones armónicas entre los $N$ núcleos del sólido descripto, que se representan mediante un sistema de $3N$ osciladores acoplados. Sabemos que esto significa que habrá $3N$ modos normales (osciladores desacoplados), y la simplificación de este modelo es que todos los osciladores poseen la misma frecuencia $\omega_o$⁷.

El $j$-ésimo oscilador puede tomar valores de energía $E_j\!=\!(n_j+1/2) \hbar\omega_o$ con $n_j\!=\!0,1,\dots$ La energía total del sistema será entonces

$$E_M = \left( M + \frac{3N}2 \right) \hbar\omega_o \;, \qquad\qquad {\rm con} \qquad M = \sum_{j=1}^{3N} n_j \;.$$

La pregunta entonces, dentro del esquema microcanónico es ¿de cuántas maneras $W(M)$ se puede lograr el valor de energía $E_M$? En otras palabras, ¿de cuántas maneras pueden sumarse $3N$ números enteros mayores o iguales que 0 para obtener el valor $M$ (fijo)? Otra vez la respuesta se logra mediante un análisis combinatorio que se deja como ejercicio. También en este caso se verifica que el calor específico se anula para $T\!=\!0$, tal como lo predice la cuántica. Para el límite de altas temperaturas puede verse que el calor específico se vuelve constante, tal como debemos esperar de acuerdo con el teorema de equipartición de la energía que veremos en el próximo capítulo.