Superficie de Fermi

Como sabemos, en el estado fundamental el principio de exclusión no permite que todos los electrones ocupen el estado individual de mínima energía, sino que se van llenando los estados con energía creciente $\varepsilon_n(\bm{k})\le\varepsilon_F\,$ hasta la energía de Fermi. A diferencia del modelo de electrones libres, las energías $\varepsilon_n(\bm{k})$ no tienen una forma explícita sencilla, y hay que tener la precaución de mantener $\bm{k}$ en la primera zona de Brillouin para no repetir estados en nuestra construcción.

En el estado fundamental del conjunto de electrones pueden darse dos situaciones bien diferentes. Por un lado, se completan algunas bandas de menor energía, y las bandas restantes quedan vacías, con una brecha (gap) entre la última banda llena y la siguiente: si a temperatura ambiente $T_a$ la brecha de energías es bastante mayor que la excitación térmica $k_BT_a\,$ el material es aislante, mientras que cuando esta brecha es comparable a $k_BT_a\,$ se trata de un semiconductor⁵. Como el número de estados traslacionales disponibles en cada banda es igual al número de celdas primitivas del cristal (número de $\bm{k}$ en la PZB), solo puede existir una brecha de energías cuando el número de electrones aportados por cada celda primitiva es par, ya que la degeneración por espín hace intervenir 2 electrones por cada una —esta condición es necesaria, pero no suficiente.

La otra situación que puede ocurrir es que algunas bandas se llenan parcialmente, de manera que $\varepsilon_F\,$ queda contenida en el medio de una banda (o varias bandas): en este caso el material es un conductor metálico, y la superficie $\varepsilon_n(\bm{k})\!=\!\varepsilon_F\,$ que limita los estados ocupados de los libres se denomina superficie de Fermi. En el caso anterior, la energía de Fermi se hallaba en el medio de una brecha (gap), y no era posible una relación similar a la de un conductor: un sólido presenta propiedades metálicas cuando es posible definir una superficie de Fermi.