Densidad de estados

Al estudiar la contribución de los electrones a una propiedad termodinámica $Q$ de un material, debemos considerar el aporte de todos los estados ($n,\bm{k}$) individuales ocupados

$$Q=2\sum_{n,\bm{k}} Q_n(\bm{k})$$   o bien$$\qquad q=\lim_{V\to\infty}\frac{Q}{V} = 2\sum_n \int_{\rm\textcolor{gray}{P}ZB}\frac{\,{\rm d}^3 k}{~(2\pi)^3}\; Q_n(\bm{k}) \;.$$

La integral debe abarcar una celda primitiva de la red recíproca, por ejemplo la PZB. Típicamente $Q_n(\bm{k})$ depende solo de $\varepsilon_n(\bm{k})$, de modo que en términos de la densidad de estados $g(\varepsilon)$ análoga a la que habíamos definido en §1.2.1, el cálculo requerido es del tipo

$$q = \int \,{\rm d}\varepsilon\; g(\varepsilon)\, Q(\varepsilon) \;,$$   donde$$\quad g(\varepsilon) = \sum_n g_n(\varepsilon) \;,$$

y en particular para la banda $n$

$$g_n(\varepsilon) = \int_{\rm\textcolor{gray}{P}ZB} \frac{\,{\rm d}^3 k}{~4\pi^3}\;\delta\big(\varepsilon - \varepsilon_n(\bm{k})\big) \;.$$

Otra forma de construir estas cantidades es imaginando una colección de superficies $S(\varepsilon)$ en el espacio $k$, cada una con energía $\varepsilon$ constante, de manera que realizamos el cambio de variables $\bm{k}\to\varepsilon$, evaluando de este modo

$$g_n(\varepsilon) \,{\rm d}\varepsilon = \int_{S_n(\varepsilon)} \frac{\,{\rm d}S}{4\pi^3}\,\delta k \;,$$

donde $\delta k$ es la proyección ortogonal a $S(\varepsilon)$ de los incrementos en $\bm{k}$ necesarios para pasar de $S(\varepsilon)$ a $S(\varepsilon\!+\!\,{\rm d}\varepsilon)$. Todas estas cantidades pueden relacionarse mediante

$$\,{\rm d}\varepsilon = \nabla\varepsilon_n(\bm{k})\cdot\bm{\delta k} = \vert\nabla\varepsilon_n(\bm{k})\vert\;\delta k \;,$$

de modo que

$$g_n(\varepsilon) = \int_{S_n(\varepsilon)} \frac{\,{\rm d}S}{4\pi^3}\, \frac{1}{\vert\nabla\varepsilon_n(\bm{k})\vert} \;.$$

Como $\varepsilon_n(\bm{k})$ es periódica y acotada, $\vert\nabla\varepsilon_n(\bm{k})\vert$ puede anularse dentro de una celda primitiva del espacio recíproco, lo que provocaría una divergencia en la expresión anterior: estas singularidades de van Hove son integrables en 3D, y suelen ocurrir en puntos de especial interés, por lo que las encontraremos pronto en casos concretos.