Electrones en un potencial periódico (basado en el texto de Ashcroft)

En una red de Bravais, los electrones están sometidos a un potencial periódico: los iones positivos son centros de atracción, mientras que los electrones más ligados a sus núcleos generan cierta repulsión. Esta periodicidad en el potencial se sintetiza como

$$\hspace{8em} U(\bm{r}+\bm{R}) = U(\bm{r})$$   (para cualquier $\bm{R}$ de la red).

Como el período de este potencial es de algunos Å, y por ende comparable a la longitud de onda de de Broglie típica que veíamos en el modelo de Drude-Sommerfeld, está claro que debemos recurrir a una descripción cuántica. Idealizamos el cristal descripto, de manera que el sólido ofrece un potencial perfectamente periódico; más adelante veremos en qué podrían influir las imperfecciones que presentan los cristales reales (impurezas, dislocaciones, etc.). En el esquema de electrones independientes no hay interacción entre electrones, de modo que el potencial periódico considerado en nuestra descripción es un potencial efectivo resultante de todas las interacciones posibles.

La ecuación de Schrödinger estacionaria para un electrón en este potencial periódico

$$\hat{H}\psi = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\,\nabla^2 + U(\bm{r}) \right] \psi = \varepsilon\,\psi \;,$$

permite inferir ciertas propiedades para la solución $\psi\,$ que buscamos, a través del teorema de Bloch.