Q-curvas y caracteres de Hecke en el método modular | Defensa de Tesis para optar al grado de Doctor en Matemática

Tribunal Especial

Titulares:

Dr. Iván Ezequiel ANGIONO (FAMAF)

Dr. Luis Víctor DIEULEFAIT (Universitat de Barcelona)

Dr. Juan Pablo ROSSETTI (FAMAF)

Resumen: Esta tesis tiene como foco de estudio la resolución de cierto tipo de ecuaciones diofánticas, conocidas como “Ecuaciones de Fermat Generalizadas”. Recordemos que el Último Teorema de Fermat (UTF) establece que las únicas soluciones enteras de la ecuación xn + yn = zn , con n ≥ 3 son aquellas que satisfacen que xyz = 0. La demostración de dicha afirmación fue finalmente probada por Andrew Wiles. Desde entonces, hubo un incremento en el interés del estudio de las Ecuaciones de Fermat Generalizadas, que son aquellas de la forma Axq+Byr=Czp.

En este trabajo estudiamos las soluciones primitivas de la ecuación x4-dy2=zp y la ecuación x2-dy6=zp, donde d es un número entero. Dichas ecuaciones han sido estudiadas y completamente resueltas para unos pocos valores particulares de d, pero en esta oportunidad daremos una receta para estudiar las ecuaciones para un valor de d arbitrario. La estrategia que utilizamos para lograr nuestro objetivo será la misma que la utilizada para el UTF, usualmente denominada como el método modular. En ella, se involucran diversos objetos, como las curvas elípticas, las representaciones de Galois y las formas modulares. Parte de la complejidad del estudio de las ecuaciones mencionadas, es que las curvas elípticas naturalmente asociadas a sus soluciones no están definidas sobre cuerpos totalmente reales cuando d es negativo, sino que están definidas sobre Q(), y por lo tanto no existen resultados de modularidad para tales curvas. Entonces, la estrategia consiste en explotar el hecho de que las curvas elípticas resultan ser Q-curvas. Gran parte de la novedad del trabajo consiste en definir explícitamente un carácter de Hecke por el cual se pueda twistear la representación de Galois asociada a una Q-curva definida sobre Q() de manera que su twist se extienda al grupo de Galois absoluto de Q. Entonces, conociendo explícitamente el twist y usando las conjeturas de Serre (ya demostradas) podremos garantizar (basándonos en resultados de imagen grande de Ellenberg y de bajada de nivel de Ribet) la existencia de formas modulares concretas que son perfectamente estudiables. Luego profundizamos en distintos tipos de herramientas que permiten analizar las formas modulares obtenidas, de manera tal de probar la no existencia de soluciones primitivas no triviales de nuestras ecuaciones, al menos para valores de p suficientemente grandes.