Licenciatura en Matemática

[-] Relaciones y funciones. [-] Números naturales. Principio de inducción. Principio de buena ordenación. [-] Combinatorias. Problemas de conteo. Binomio de Newton.. [-] Números entero. Divisibilidad. Desarrollos s-ádicos. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Algoritmo de Euclides. Números primos. Teorema fundamental de la aritmética. [-] Congruencias. Ecuaciones lineales en congruencia. Congruencias simultáneas. Aritmética módulo n. Teorema pequeño de Fermat. [-] Números complejos. Propiedades fundamentales. Conjugados. Valor absoluto. Fórmula de Moivre. Raíces n-ésimas de un número complejo. [-] Grafos no orientados. Valencia. Ciclos. Caminos y caminatas.

Números reales. Propiedades. Supremo e ínfimo. Valor absoluto. Funciones. Gráficos. Funciones trigonométricas. Límites. Límites notables. Asíntotas verticales y horizontales. Funciones continuas. Teorema del valor intermedio. Valores extremos de funciones continuas en intervalos cerrados. Derivadas. Reglas de la derivación. Extremos relativos. Teorema de Rolle, del valor medio y del valor medio de Cauchy. Regla de L´Hopital. Derivadas sucesivas. Aplicaciones al esbozo de gráficos de funciones. Derivadas de funciones inversas. Nociones de antiderivadas.

Sistema de coordenadas unidimensional. Función de movimiento. Funciones trigonométricas. Velocidad media. Concepto de límite. Velocidad instantánea. Derivadas de funciones simples. Puntos críticos. La diferencial. Aceleración. Movimiento de un cuerpo en la recta. Movimiento uniforme. Movimiento uniformemente variado. Integración de las funciones de movimiento. Cambio de coordenadas. Transformaciones de Galileo. Velocidad y aceleración relativa. Sistema de coordenadas cartesianas ortogonales en el plano y en el espacio. Sistema de coordenadas polares. Vectores. Vector posición. Vector velocidad. Aceleración tangencial y normal. Movimiento circular. Velocidad angular. Movimiento de un cuerpo en el plano y en el espacio. Movimiento circular uniforme y uniformemente acelerado.

Función determinante. Determinante e inversibilidad de matrices. Valores y vectores propios. Polinomios característico y minimal. Teorema de Cayley-Hamilton. Triangulación y diagonalización simultánea. Sumas directas invariantes y teorema de la descomposición prima. Descomposición cíclica y forma racional. Forma de Jordan de un operador. Espacio dual. Transpuesta de una transformación lineal. Espacios con producto interno sobre R o C. Operadores ortogonales, unitarios, autoadjuntos y normales. Teorema espectral para operadores normales. Forma canónica de un operador normal. Exponencial de matrices.

Funciones vectoriales. Funciones de una variable. Longitud de arco. Límites y continuidad. Integrales de línea. Derivadas parciales. Derivadas parciales vectoriales. Funciones diferenciables y diferencial. Matriz Jacobiana. Diferenciabilidad de las funciones con derivadas parciales continuas. Derivadas direccionales. Gradiente. Función potencial. Regla de la cadena. Ecuaciones en derivadas parciales (ejemplos). Teorema de la función inversa e implícita. Valores extremos. Multiplicadores de Lagrange. Desarrollos en series de Taylor y valores extremos. Integrales múltiples en R2 y R3. Cambio de variables. Coordenadas esféricas y cilíndricas. Teorema de Green, Gauss y Stokes. Aplicaciones.

Análisis de errores: error absoluto y relativo; redondeo y truncamiento; sistemas de punto flotante; errores de representación. Solución de ecuaciones no lineales: métodos de bisección, Newton, secante y de punto fijo. Interpolación polinomial: formas de Lagrange y de Newton; splines. Aproximación de funciones: teoría de cuadrados mínimos. Integración numérica: reglas simples y compuestas del rectángulo, punto medio, trapecio y Simpson; reglas Gaussianas. Solución de sistemas de ecuaciones lineales: eliminación Gaussiana y factorización LU; métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel. Programación Lineal: convexidad y desigualdades lineales; método simplex.

Espacios topológicos. Espacios métricos. Interior, clausura y frontera. Entornos. Sucesiones. Base de una topología. Funciones continuas, abiertas y cerradas. Homeomorfismos. Conexión, conexión local y conexión por arcos. Compacidad. Topología producto. Topología cociente. Relaciones abiertas y conjuntos saturados. Gráfico de una relación. Espacios métricos completos. Espacios localmente compactos. Espacios de funciones. Topología de la convergencia puntual y de la convergencia uniforme sobre compactos. Homotopía de curvas. Grupo fundamental.

Conjuntos borelianos. Medida exterior. Conjuntos medibles. Medida de Lebesgue. Integral de Lebesgue. Convergencia en medida y convergencia en casi todo punto. Funciones de variación acotada. Diferenciación de integrales indefinidas. Continuidad absoluta. Espacios Lp. Duales de espacios Lp. Espacios de medida abstractos. Funciones medibles e integrables. Teoremas de convergencia. Medida producto.

Ecuaciones de primer orden. Problema de Cauchy. Teoremas de Picard y Peano. Soluciones maximales. Dependencia de las soluciones respecto de las condiciones iniciales y parámetros. Ecuaciones lineales de orden n. Wronskiano, base de soluciones. Problemas no homogeneos. Sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas de primer orden, Clasificación de puntos de equilibrios. Matrices fundamentales, exponencial de matrices. Sistemas no homogeneos. Elementos de teoría de Sturm Liouville y problemas de contorno. Teoremas de Sturm, existencia de autovalores. Soluciones en series de potencias de ecuaciones de segundo orden. Puntos singulares-regulares. Aplicación a la ecuación de Euler y de Bessel.

[-] Variedades diferenciables de dimensión finita. [-] Funciones diferenciables, Difeomorfismos. [-] Espacio tangente, la diferencial, Fibrados tangente y cotangente. [-] Tensores. [-] Particiones de la unidad. [-] Inmersiones, subvariedades e incrustaciones. [-] Campos vectoriales. Corchete de Lie. Campos vectoriales f-relacionados. Curvas integrales. [-] Teorema de Frobenius local. Teorema de Frobenius global. [-] Algebra multilineal. Formas diferenciales. Diferenciación. [-] Orientación. Integración en variedades.

Conforme a sus intereses, el estudiante podrá elegir estas materias a partir de un espectro de cursos ofrecidos cuatrimestralmente por la Facultad a tal fin. Las Especialidades permitirán que el estudiante profundice sus conocimientos en áreas particulares de la Matemática, y le facilitarán su orientación dentro de la rama concreta en la que vaya a especializarse.

Convergencia Estocástica: Introducción. Convergencia Casi Segura, en Probabilidad, en Distribución y en Media Cuadrática. Ley de los Grandes Números. Teorema Central del Límite. Funciones de variables aleatorias y distribuciones de muestreo. Distribuciones derivadas de la distribución normal: t-student, chi cuadrado, F. Estimación puntual. Población y muestra. Modelos Paramétricos. Estimador y estimación. Estimadores Insesgados, Eficiencia, Suficiencia, Consistencia. Métodos para la estimación puntual: Método de los Momentos, Método de Máxima Verosimilitud y Método de Mínimos Cuadrados. Desigualdad de Rao - Cramer. Propiedades asintóticas. Estimación por Intervalo de Confianza:Introducción. Precisión y Confiabilidad. Error estándar de estimación. Intervalos de Confianza para la media y varianza basados en una muestra aleatoria con distribución normal. Intervalo de Confianza de nivel asintótico. Intervalo de Confianza para la diferencia de medias: muestras independientes y apareadas. Intervalo de Confianza para el cociente de varianzas a partir de dos muestras aleatorias independientes con distribución normal. Prueba de Hipótesis: Introducción. Elementos de una Prueba de Hipótesis, p-valor y nivel. Pruebas de Hipótesis para la media de una y dos poblaciones normales, y pruebas asintóticas para muestras no normales. Relación entre Intervalo de Confianza y Prueba de Hipótesis: dualidad. Prueba de Hipótesis óptimas, Lema de Neyman Pearson. Teorema del test del cociente y su distribución asintótica. Modelos Lineales: Regresión y Análisis de la Varianza: Introducción al modelo Lineal. Estimación en un Modelo Lineal. Pruebas de Hipótesis e Intervalos de Confianza para el Modelo Lineal.Medidas de Asociación: Correlación. Análisis de la Varianza. Comparaciones Múltiples.Tópicos de simulación.